微专题阿氏圆

微专题：阿氏圆【数学定义】已知平面上两定点A,B,则所有满足PA:PE=k（或PA二k-PB）且"1的点P的轨迹是一个圆.这个机达最先由古希腊数学去阿迪般尼的甚现,所以该圆就称为阿波罗尼斯mr简称阿氏国.产且=2.99厘米具体的描述为：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m:nr则P点的轨迹是以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.ZAPD=24.430PS=6・71厘米P4=336厘米ZBPD=24.43°ZAPC=65,57°Z£PC=65.57°

通俗地说：如图,在-PAB中，PD通俗地说：如图,在-PAB中，PD平分/APB交AB于点D『PC平分-PAB的外角/APE交BA的延长线于点C,以线段CD长为直径的圆就是阿氏国.PB=工30厘米川二3・65厘米PA——=0.50PBZAPD=20.75°ZBPD=20.75°NAPC=69.25。Z£TPC=69.25Q当k当k=l时rPA=PB,那么点P到线段AH的两端点的距离相等r它的轨迹就是线段AB的垂直平分线.=3・93厘米3.93厘米PA——=1.00PB工数学定理1K三角形内角平分线定理二三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线内分对边之比如图，dABC中，AD平分/EAC,贝”AB:AC=BD:CD.B DC在△ABC中，AD平分NBAC,『.ABBD则 - ACCD"2、三角形外角平分线定理二三角形任意两边之比等于它们夹角的外角平分线外分对边之比如图，△ABC中，AD平分/BAC,贝依B:AC=BD:CD.B C D在△ABC中,AD平分△ABC的外角NCAE,ABBD[Rii=“ACCD"

工模型探究】如图，e■。的半径为f,点A、B都在玲。外，P为玲。上的动点，已知尸k-OB,连结PA、PB,则当“PA+k-PB”的值最小时，P点的位置如何确定?r问题解决】问题解决的关键在于如何确定“k-PB”的大小，如图，在线段OB上截取OC,使OC=kF贝阿证明握BPOS-PCO,即可得k-PB=PC.本题求“PA+k，PB”的最小值就转化为求“PA+PC”的最小值，其中点A、C为定点，点P为动点，如图:如图，当点AxP、£•三点共线时：'PA十PC”的值最小,问题得解.E破解步骤】E破解步骤】（母子型相似:APCOcdABPO）尸（动点）5（定点） C0（圆心）（构造的点）1、将系数不为1的线段两端点分别与圆心0相连，即连结OB、0P;2、计算出线段OP+0B的长以及线段比0P二OB=k的值，3.在0B或0B的延长线上取点C,使得OC二OP=OP二OB=k；（关键步骤）4、连结M,与。0的交点即为点已t模型实例］在及△ABC甲，NACB=9（r,CB=4,CA=6；QC的半径为工□为GC上一动点，连结AP、BP,则1AP+BP的最小值为，“Z：1~-AP+BP=1~-AP+BP=8.216图文解析观察动态演示；【解析】1.【解析】1.如图，将系数不为1的线段AP的两端点分别与圆心C相连，即连结CA.CP;2、计算出线段2、计算出线段CA.CP的长以及线CP21段比——政工CA63'3.如图，在CA上截取点D,使得黑=1,K_--iJ即CD=jV4*如图4*如图,连结BD,与圆C的交点即为点P.CDCP1・：/］；=3CDCP1・：/］；=3ZDCP=ZPCA,aADCP^APCA,DFCP1・ 一AP—CA~311/.DP=~AP?V・.|APIBP=DP+BP>BD,故当点B、P.D三点共磬时最小.此时BD=jBd+C至=J甲+（；>='变式：条件不变』求AP+0.5BP的最小值.（答案：根号37）2、如图，在—ABC2、如图，在—ABC中，ZACB=90°,AC=EC=4, 的半径为2,点D是0C上的动点,点E在BC上，CE=L连结AD、DE,求0.5AD+2DE的最小值