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文档简介
2021-2022学年广东省深圳市龙华区八年级(下)第一次质量监测数学试卷一、选择题[本部分共10小题,每小題3分,共30分.每小题给出4个选项,其中只有一个是正确的)1.下列图案是我国几大银行的标志,其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】解:A、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项不符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项符合题意.
故选D.【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2.要使分式有意义,x应满足的条件是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用分式有意义的条件,即分母不等于0,进而得出答案.【详解】解:要使分式有意义,x应满足的条件是:x-3≠0,
解得:x≠3.
故选D.【点睛】本题考查分式有意义的条件,正确把握分式有意义的条件是解题关键.3.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,这个多边形内角和等于()A.360° B.540° C.720° D.900°【答案】C【解析】【分析】首先确定出多边形的边数,然后利用多边形的内角和公式计算即可.【详解】解:∵从一个顶点可引对角线3条,∴多边形的边数为3+3=6.多边形的内角和.故选:C.【点睛】本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用,掌握公式是解题的关键.4.下列多项式中,分解因式不正确的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据提公因式法、平方差公式和完全平方公式逐一判断即可.【详解】解:A.,故本选项正确;B.,故本选项正确;C.,故本选项错误;D.,故本选项正确.故选:C.【点睛】此题考查的是因式分解,掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键.5.化简的结果是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将分子、分母分别分解因式,找出公因式约分即可.【详解】原式=
,故选:B.【点睛】分式变形后,分子与分母整体约分,是解决本题的基本方法.6.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∠ABC=75°,则∠EAF的度数为()A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】D【解析】【分析】先根据平行四边形的性质,求得∠C的度数,再根据四边形内角和,求得∠EAF的度数.【详解】解:∵平行四边形ABCD中,∠ABC=75°,∴∠C=105°,又∵AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,∴四边形AECF中,∠EAF=360°-180°-105°=75°,故选D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,解题时注意:平行四边形的邻角互补,四边形的内角和等于360°.7.一次环保知识竞赛共有25道题,每一题答对得4分,答错或不答都扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少要答对多少道题?如果设小明答对了x道题,根据题意列式得()A.4x﹣1×(25﹣x)>85 B.4x+1×(25﹣x)≤85C.4x﹣1×(25﹣x)≥85 D.4x+1×(25﹣x)>85【答案】C【解析】【分析】根据题意可以列出相应的不等式,从而可以解答本题.【详解】解:由题意可得,
4x-1×(25-x)≥85,
故选C.【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的不等式.8.如图,已知△ABC,按以下步骤作图:①分别以B、C为圆心,以大于BC的长为半径作弧两弧相交于两点M、N;②作直线MN交AB于点D,连接CD.若∠B=30°,∠A=65°,则∠ACD的度数为()A.65° B.60° C.55° D.45°【答案】C【解析】【分析】由作法可知,MN为垂直平分线,DC=CD,由等腰三角形性质可知∠BCD=∠B=30°,再由三角形内角和即可求出∠ACD度数.【详解】解:由作法可知,MN为垂直平分线,
∴BD=CD,
∴∠BCD=∠B=30°,
∵∠A=65°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=85°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=85°-30°=55°.
故选C.【点睛】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质,得出∠DCB=∠DBC=30°是解题关键.9.如图,已知一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),若正比例函数y=mx(m为常数,且m≠0)的图象与一次函数的图象相交于点P,且点P的横坐标为1,则关于x的不等式(k-m)x+b<0的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图像分析即可解题.【详解】由函数图像可知一次函数单调递减,正比例函数单调递增,将(k-m)x+b<0变形即kx+b<mx,对应图像意义为一次函数图像在正比例函数图像下方,即交点P的右侧,∵点P的横坐标为1,∴即为所求解集.故选B【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的图像问题,数形结合的解题方法,中等难度,将不等式问题转化为图像问题是解题关键,10.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB=BC,连接OE,下列结论:①∠CAD=30°;②SABCD=AB•AC;③OB=AB:④OE=BC.其中成立的有()A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】由▱ABCD中,∠ADC=60°,易得△ABE是等边三角形,又由AB=BC,,证得①∠CAD=30°;继而证得AC⊥AB,得②S▱ABCD=AB•AC;可得OE是三角形的中位线,证得④OE=BC.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,
∵AB=BC,,∴∠BAC=90°,
∴∠CAD=30°,故①正确;
∵AC⊥AB,
∴S▱ABCD=AB•AC,故②正确,,∵BD>BC,
∴AB≠OB,故③错误;
∵∠CAD=30°,∠AEB=60°,AD∥BC,
∴∠EAC=∠ACE=30°,
∴AE=CE,
∴BE=CE,
∵OA=OC,,故④正确.
故选B.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质.注意证得△ABE是等边三角形,OE是△ABC的中位线是关键.二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)11.分解因式:______________.【答案】【解析】【分析】先提取公因数3,再根据平方差公式分解因式即可.【详解】解:,故答案为:.【点睛】本题主要考查了分解因式,熟知分解因式的方法是解题的关键.12.分式的值为0.则x的值为_____.【答案】5【解析】【分析】分式的值为0的条件是:(1)分子为0;(2)分母不为0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.【详解】解:由题意可得|x|-5=0且x+5≠0,
解得x=5.
故答案是:5.【点睛】考查了分式值为零的条件,由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件,所以常以这个知识点来命题.13.如图,∠AOP=∠BOP,PC∥OA,PD⊥OA,若∠AOB=45°,PC=6,则PD的长为_____.【答案】3【解析】【分析】过P作PE⊥OB,根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形,得出PE=3,根据角平分线的性质即可证得PD=PE=3.【详解】解:过P作PE⊥OB,
∵∠AOP=∠BOP,∠AOB=45°,
∴∠AOP=∠BOP=22.5°,
∵PC∥OA,
∴∠OPC=∠AOP=22.5°,
∴∠PCE=45°,
∴△PCE是等腰直角三角形,,∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE=.【点睛】本题考查了角平分线的性质,平行线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,求得∠PCE=45°是解题的关键.14.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍,则这个多边形的边数为_______________.【答案】12##十二【解析】【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程,求解即可得到答案.【详解】解:设这个多边形的边数为,根据题意得:,解得:,故答案为:12.【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式,多边形外角和定理,解题关键是掌握多边形内角和公式:以及多边形外角和等于.15.如图,已知,与之间的距离为3,与之间的距离为6,分别等边三角形的三个顶点,则此三角形的边长为__________.【答案】【解析】【分析】如图,构造一线三等角,使得.根据“ASA”证明,从而,再在Rt△BEG中求出CE长,再在Rt△BCE中即可求出BC的长.【详解】如图,构造一线三等角,使得.∵a∥c,∴∠1=∠AFD=60°,∴∠2+∠CAF=60°.∵a∥b,∴∠2=∠3,∴∠3+∠CAF=60°.∵∠3+∠4=60°,∴∠4=∠CAF,∵b∥c,∴∠4=∠5,∴∠5=∠CAF,又∵AC=BC,∠AFC=∠CGB,∴,∴CG=AF.∵∠ACF=60°,∴DAF=30°,∴DF=AF,∵AF2=AD2+DF2,∴,∴同理可求,∴,∴.【点睛】本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质,以及勾股定理,正确作出辅助线是解答本题的关键.三、解答题(本题共7小题,共55分.)16.解不等式组:【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.【详解】解:解不等式①得,解不等式②得,∴原不等式组的解集是【点睛】本题考查了解一元一次不等式组,能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键.17.先化简,再求值,其中.【答案】【解析】【分析】先把分式通分,把除法转换成乘法,再化简,然后进行计算【详解】解:==·=x-1当x=+1时,原式=+1-1=故答案为【点睛】本题考查了分式的混合运算-化简求值,是中考常考题,解题关键在于细心计算.18.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1,(2)将△A1B1C1向右平移4个单位,作出平移后的△A2B2C2,(3)在x轴上求作一点P,使PA1+PC2的值最小,并写出点P的坐标(不写解答过程,直接写出结果)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(,0)【解析】【分析】(1)直接利用关于点对称图形的性质得出答案;(2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;(3)结合待定系数法求一次函数解析式得出答案.【详解】解:(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求;(2)如图所示:△A2B2C2,即为所求;(3)如图所示:点P即为所求,作关于轴对称的点,可得A(2,-1),,设直线y=kx+b,则,解得:,故直线A1C2的解析式为:y=x-4;当y=0时,解得:x=,故P(,0).
【点睛】本题主要考查了旋转变换以及平移变换、利用轴对称求最短路线,解题的关键是正确得出对应点位置.19.如图,平行四边形ABCD的边OA在x轴上,将平行四边形沿对角线AC对折,AO的对应线段为AD,且点D,C,O在同一条直线上,AD与BC交于点E.(1)求证:△ABC≌△CDA.(2)若直线AB的函数表达式为,求三角线ACE的面积.【答案】(1)证明见详解;(2)【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质及折叠的性质,可得出CD=AB,∠DCA=∠BAC,结合AC=CA可证出△ABC≌△CDA(SAS);
(2)由点D,C,O在同一直线上可得出∠DCA=∠OCA=90°,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标及OA的长度,由OC∥AB可得出直线OC的解析式为y=x,进而可得出∠COA=45°,结合∠OCA=90°可得出△AOC为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质可得出OC、AC的长,结合(1)的结论可得出四边形ABDC为正方形,再利用正方形的面积公式结合S△ACE=S正方形ABDC可求出△ACE的面积.【详解】(1)证明:∵四边形ABCO为平行四边形,
∴AB=CO,AB∥OC,
∴∠BAC=∠OCA.
由折叠可知:CD=CO,∠DCA=∠OCA,
∴CD=AB,∠DCA=∠BAC.
在△ABC和△CDA中,,∴△ABC≌△CDA(SAS).(2)解:∵∠DCA=∠OCA,点D,C,O在同一直线上,∴∠DCA=∠OCA=90°.
当y=0时,x-6=0,解得:x=6,
∴点A的坐标为(6,0),OA=6.
∵OC∥AB,
∴直线OC的解析式为y=x,
∴∠COA=45°,
∴△AOC为等腰直角三角形,
∴AC=OC=.
∵AB∥CD,AB=CD=AC,∠DCA=90°,
∴四边形ABDC为正方形,【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的面积,解题的关键是:(1)利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABC≌△CDA;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质,求出正方形边长AC的长.20.某工厂准备购买A、B两种零件,已知A种零件的单价比B种零件的单价多20元,而用800元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等(1)求A、B两种零件的单价;(2)根据需要,工厂准备购买A、B两种零件共200件,工厂购买两种零件的总费用不超过14700元,求工厂最多购买A种零件多少件?【答案】(1)A种零件的单价为80元,B种零件的单价为60元;(2)最多购进A种零件135件.【解析】【分析】(1)设A种零件的单价是x元,则B种零件的单价是(x-20)元,根据“用800元购买A种零件的数量和用600元购买B种零件的数量相等”列出方程并解答;
(2)设购买A种零件a件,则购买B种零件(200-a)件,根据“购买两种零件的总费用不超过14700元”列出不等式并解答.【详解】解:(1)设B种零件的单价为x元,则A零件的单价为(x+20)元,则解得:x=60经检验:x=60 是原分式方程的解, x+20=80.答:A种零件的单价为80元,B种零件的单价为60元.(2)设购进A种零件m件,则购进B种零件(200﹣m)件,则有80m+60(200﹣m)≤14700,解得:m≤135,m在取值范围内,取最大正整数, m=135.答:最多购进A种零件135件.【点睛】考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用,分析题意,找到合适的数量关系是解决问题的关键.21.如图1,点C、D是线段AB同侧两点,且AC=BD,∠CAB=∠DBA,连接BC,AD交于点E.(1)求证:AE=BE;(2)如图2,△ABF与△ABD关于直线AB对称,连接EF.①判断四边形ACBF的形状,并说明理由;②若∠DAB=30°,AE=5,DE=3,求线段EF的长.【答案】(1)证明见解析;(2)①四边形ACBF为平行四边形,理由见解析;②EF=7.【解析】【分析】(1)利用SAS证△ABC≌△BAD可得.(2)①根据题意知:AC=BD=BF,并由内错角相等可得AC∥BF,所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可得结论;②如图2,作辅助线,证明△ADF是等边三角形,得AD=AE+DE=3+5=8,根据等腰三角形三线合一得AM=DM=4,最后利用勾股定理可得FM和EF的长.【详解】(1)证明:在△ABC和△BAD中,∵,∴△ABC≌△BAD(SAS),∴∠CBA=∠DAB,∴AE=BE;(2)解:①四边形ACBF为平行四边形;理由是:由对称得:△DAB≌△FAB,∴∠ABD=∠ABF=∠CAB,BD=BF,∴AC∥BF,∵AC=BD=BF,∴四边形ACBF为平行四边形;②如图2,过F作FM⊥AD于,连接DF,∵△DAB≌△FAB,∴∠FAB=∠DAB=30°,AD=AF,∴△ADF是等边三角形,∴AD=AE+DE=3+5=8,∵FM⊥AD,∴AM=DM=4,∵DE=3,∴ME=1,Rt△AFM中,由勾股定理得:FM===4,∴EF==7.【点睛】本题是三角形的综合题,考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定,勾股定理,本题中最后一问,有难度,恰当地作辅助线是解题的关键.22.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+b与x轴、y轴相交于A、B两点,动点C(m,0)在线段OA上,将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰好落在直线AB上,过点D作DE⊥x轴于点E.(1)求m和b的数量关系;(2)当m=1时,如图2,将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′,当直线B
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