人教版九年级下册数学期中试卷1

人教版九年级下册数学期中试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小顾3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。）1．（3分）如图，点A所表示的数的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．（a2）3＝a5 D．（ab3）2＝a2b63．（3分）今年4月11日，长沙GDP与人口数据公布：GDP方面，2021年长沙全年实现地区生产总值约11300亿元，同比增长8.1%．数据“11300亿”用科学记数法表示正确的是（）A．1.13×102亿 B．1.13×103亿 C．1.13×104亿 D．1.13×105亿4．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具备对称性，下列汉字不是轴对称图形的是（）A．一 B．中 C．王 D．语5．（3分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．96．（3分）如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠AED的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．75°7．（3分）如图要测量浏阳河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝300米，∠PCA＝40°，则小河宽PA为（）A．300sin40°米 B．300cos40°米 C．300tan40°米 D．300tan50°米8．（3分）党的十八大报告中对教育明确提出“减负提质”要求．为了解我校九年级学生平均每周课后作业时量，某校园小记者随机抽查了50名九年级学生，得到如下统计表：周作业时量/小时4681012人数2232131则这次调查中的众数、中位数是（）A．6，8 B．6，7 C．8，7 D．8，89．（3分）不等式组解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F，将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高为（）A．2 B． C．4 D．11．（3分）在平面直角坐标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线（x＞0），经过点B，双曲线（x＜0），经过点C，则＝（）A．﹣3 B．3 C． D．12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：m2﹣2m+1＝．14．（3分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝．15．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．16．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为且经过点（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y1），（π，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；②c＝2b；③关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解；④（其中m为实数）．其中说法正确的是．三、解答题（本大题共8个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简、再求值：，其中x＝2．19．（6分）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D．（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，；（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）完成作图过程第三步：以点C为圆心，；（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．20．（8分）学校为鼓励学生加强课后阅读，特组织八年级全体同学参加了“全民阅读，建设书香校园”的课后海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况统计如图所示．（1）扇形统计图中“5本”所在扇形圆心角为度，并将条形统计图补充完整；（2）在八年级700名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？（3）在八年级六班共有50名学生，其中读书达到25本的有两位男生和两位女生，老师要从这四位同学中随机邀请两位同学分享读书心得，试通过画树状图或列表的方法求恰好是两位男生分享心得的概率．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段MN的长度．22．（9分）火炬村街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌花费280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌花费270元．（1）求垃圾箱和温馨提示牌的单价各多少元？（2）购买垃圾箱和温馨提示牌共100个，如果垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3倍，请你写出总费用w元与垃圾箱个数m个之间的关系式，并说明采用怎样的方案可以使总费用最低，最低为多少？23．（9分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明；（2）若DF＝，求tan∠EAD的值．24．（10分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣4，0），C（1，0），B（0，3）．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；（Ⅰ）：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；（Ⅱ）：试求出此旋转过程中，的最小值．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小顾3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。）1．【分析】先从数轴上得出点A所表示的数，再根据负数的绝对值是其相反数解答即可．【解答】解：由数轴得，点A表示的数为：﹣2，∴|﹣2|＝2，故选：B．2．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、a3÷a＝a2，故本选项不合题意；C、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D、（ab3）2＝a2b6，故本选项符合题意；故选：D．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将11300亿用科学记数法表示为：1.13×104亿．故选：C．4．【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．【解答】解：A、“一”是轴对称图形，故本选项不合题意；B、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；C、“王”是轴对称图形，故本选项不合题意；D、“语”不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．5．【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．【解答】解：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，则x的不可能的值是9，故选：D．6．【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∠ACE＝90°﹣45°＝45°，则∠AED＝∠ACE+∠A＝45°+30°＝75°，故选：D．7．【分析】在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APC＝90°，∵PC＝300米，∠PCA＝40°，∴tan40°＝，∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝300tan40°米．故选：C．8．【分析】根据众数、中位数的定义求解即可．【解答】解：由统计表可知，学生平均每周课后作业时量为6小时的有23人，人数最多，故众数是6；因表格中数据是按从小到大的顺序排列的，一共50个人，中位数为第25位和第26位的平均数，它们分别是6，8，故中位数是＝7．故选：B．9．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1，解不等式，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：C．10．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝2，这个圆锥的高h＝＝4，故选：D．11．【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，由反比例函数系数k的几何意义得到k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，解直角三角形求得＝tan30°＝，通过证得△AOM∽△OBN，得到＝（）2＝3，进而得到＝﹣3．【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，∴S△AOM＝|k1|，S△BON＝|k2|，∵k1＞0，k2＜0，∴k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，∴＝tan30°＝，∵∠AOM+∠BON＝90°＝∠AOM+∠OAM，∴∠OAM＝∠BON，∵∠AMO＝∠ONB＝90°，∴△AOM∽△OBN，∴＝（）2＝3，∴＝﹣＝﹣3，故选：A．12．【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积＝扇形COB的面积＝＝2π，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．14．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝a+b﹣1，即可得出格点多边形的面积．【解答】解：a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，通过图象可知a＝4，b＝6，∴该五边形的面积S＝4+×6﹣1＝6，故答案为：6．15．【分析】根据正方形的性质求出AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM＝4，FM＝2，∠AMF＝90°，根据正方形性质求出∠ACF＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH＝AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．16．【分析】①根据点（﹣3，y1）离对称轴为要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，即可判断；②根据对称轴为x＝，且经过点（2，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），可得＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，即可判断；③根据Δ＝b2﹣4a且a＜0，即可判断；④根据抛物线的对称轴x＝，可得当x＝时，y有最大值，即a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），根据a＝﹣b，即可进行判断．【解答】解：∵点（﹣3，y1）离对称轴为要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，∴y1＜y2，所以①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a，∵抛物线经过点（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴＝﹣1×2＝﹣2，∴c＝﹣2a＝2b，所以②正确；∵Δ＝b2﹣4a且a＜0，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解，故③正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y有最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c（其中m≠），∴a+b＞m（am+b）（其中m≠），∵a＝﹣b，∴﹣b+b＞m（am+b），∴b＞m（am+b），所以④正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共8个小题，第17，18，19题每小题6分，第20，21题每小题6分，第22，23题每小题6分，第24，25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝﹣1+3+2×﹣2＝2+﹣2＝．18．【分析】利用分式的混合运算法则把原式变形，把x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝﹣×＝﹣＝，当x＝2时，原式＝＝3．19．【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）完成作法；（2）利用作法得到OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，则可判断△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形的性质得到结论．【解答】解：（1）完成作图过程第三步：以点C为圆心，CD为半径画弧，交弧C′E′于点D′；（2）证明过程为：由作法得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠O＝∠O′，即∠A'O'B'＝∠AOB．20．【分析】（1）根据C的人数和所占的百分比，可以求得本次共抽查学生人数，即可解决问题；（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人；（3）画出树状图，从而可以求出恰好是两位男生分享心得的概率．【解答】解：（1）本次共抽查学生人数为：14÷28%＝50（人），则扇形统计图中“5本”所在扇形圆心角为：360°×＝72°，读书10本的学生有：50﹣10﹣14﹣6﹣4＝16（人），故答案为：72，补全的条形统计图如下：（2）700×＝336（人），即在八年级700名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有336人；（3）画树状图如下图所示：一共有12种可能性，其中恰好是两位男生分享心得的有2种，∴恰好是两位男生分享心得的概率是＝．21．【分析】（1）根据A与C关于直线MN对称得到AC⊥MN，进一步得到∠COM＝90°，从而得到在矩形ABCD中∠COM＝∠B，最后证得△COM∽△CBA；（2）利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM的长．【解答】（1）证明：∵沿直线MN对折，使A、C重合．∴A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM＝90°．在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠COM＝∠B，又∵∠ACB＝∠ACB，∴△COM∽△CBA；（2）解：∵在Rt△CBA中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OC＝5，∵△COM∽△CBA，∴＝，即＝∴OM＝．同理推知：△AON∽△ADC，则ON＝．∴MN＝OM+ON＝．22．【分析】（1）设垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是x元与y元，根据题意列出方程即可求出答案．（2）先根据垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3倍，求出m的范围，然后列出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是x元与y元，，解得：，答：垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是60元与50元；（2）由题意得：w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，∵垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3倍，∴m≥3（100﹣m），解得，m≥75，∵10＞0，∴w随着m的增大而增大，∴当m＝75时，w取得最小值，此时w＝10×75+5000＝5750，100﹣75＝25，答：购买垃圾箱75个，温馨提示牌共25个，可以使总费用最低，最低为5750元．23．【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；（2）根据勾股定理得到OF＝＝2，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝2，∴OF＝＝2，∵OD∥AE，∴＝＝，∴＝＝，∴AE＝，ED＝，∴tan∠EAD＝＝．24．【分析】（1）分两种情况：利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；（2）先判断出函数的增减性，利用“k属和合函数”的定义得出ab＝1，即可得出结论；（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k属和合函数”的定义即可得出结论；【解答】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，∵1≤x≤3，∴k﹣1≤y≤3k﹣1，∵函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，∴（3k﹣1）﹣（k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝4；当k＜0时，y随x的增大而减小，∴3k﹣1≤y≤k﹣1，∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝﹣4，综上所述，k的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y＝，k＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，∴﹣＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，∴a﹣b＝﹣；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x＝﹣1时，y＝2﹣2a，当x＝1时，y＝2+2a，当x＝a时，y＝a2+3，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y最大值＝