高等数学教程（第4版）课件：微分中值定理及其应用

微分中值定理及其应用定理4.1(费马引理)

4.1费马引理与函数最值

设在点

的某邻域内有定义，并且在处可导,如果对于任意证不妨设有所以,由函数在可导及极限的保号性,有推论4.1(最值的必要条件)的点称为函数的驻点.

设如果存在,如果在[a,b]上连续,则在[a,b]上一定有最大值和最小值.

由最值的必要条件,最大、最小值点只可能是驻点、不可导点或区间的端点.求函数最大值与最小值的一般步骤:1.求驻点和不可导点;2.求出区间端点及驻点和不可导点的函数值,3.在实际问题的应用中,问题本身可以保证目标是最小值;比较大小,其中最大者就是最大值,最小者就种思想求应用问题的最值.函数的最大值或最小值一定存在,我们通常用这例4.1

求函数在[-1,4]上的最大值解计算与最小值.(-1,4)内驻点比较得,最大值最小值解驻点:可能是不可导点.与最小值.练习

求函数在的最大值比较得,最大值最小值例4.2欲建造一个粮仓,粮仓内下部为圆柱形,顶部解则建造粮仓所需材料的总价为为半球形.设用于建造圆柱形部分的材料的单价为由题意有用于建造半球形部分的材料单价为如果粮食只能储存在圆柱形部分,且规定粮仓储藏量为问如何选取圆柱形的尺寸才能使造价最低？故代入上式得求导得令得驻点

所求问题的最小值一定存在,故驻点就是问题的最小值点,唯一驻点,即当时,

造价最低.例4.3在一个半径为R的广场中心安装一灯塔,解则问灯塔多高时才能使广场周围的路上最亮？由物理知识有,照度.

求导得

所求问题的最大值一定存在,故驻点就是问题的最大值点,当灯塔的高度为时,

能使广场周围的路上最亮.令得唯一驻点例4.4铁路线上段的距离为工厂距处为垂直于(见图).为了运输需要,要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路上每公里货运的费用与公路上每公里的费用之比为3:5.为了使货物从供应站运到工厂的运费最少,问点应选在何处？则解则设铁路上每公里货运的费用为,公路上每公里的费用,从点到点的总运费为,故时,求导得令得唯一驻点

所求问题的最小值一定存在,故驻点就是问题的最小值点,总运费最少.定理4.2(罗尔定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)使得4.2

罗尔定理及其应用证如果函数f(x)满足:必有最大值M和最小值m.由费马引理

推论4.2可微函数的任意两个零点之间至少(1)若有的一个零点．例4.5

证明是方程的唯一实根.证令矛盾.由罗尔定理,原命题得证.使得例4.6若在上有三阶导数,且证由罗尔定理,使得则在内至少有一点,使得而故使得故使得原命题得证.练习

设常数满足:试证方程分析：注意到在(0,1)内存在一个实根.证设且

由罗尔定理即在(0,1)内可导,两种常用的构造辅助函数的方法：

1.常数k法基本思路是令待证等式中的常数为k，通过恒等变形将含有k的式子写成的形式，

然后用罗尔定理则就是需要的辅助函数,进行证明.例4.7设分析证令整理得罗尔定理,使得故即例4.8设分析证令整理得罗尔定理,使得故即2.因子法如果待证等式为

如果作辅助函数且只要因此,另一因子可通过确定.(f(x)是一个因子)则例4.9设分析:问题转化为证使得证明：对任意的正整数n,证设辅助函数在[0,1]上用罗尔定理,使得即于是即例4.10设分析:问题转化为证使得证明：证设辅助函数在[a,b]上用罗尔定理,使得即于是即练习

若分析:问题转化为证辅助函数F(x)证明:存在证设辅助函数命题得证即4.3.1拉格朗日中值定理定理4.3(拉格朗日中值定理)(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;使得4.3

拉格朗日中值定理及其应用如果函数f(x)满足:几何解释:分析:则

在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.令证作辅助函数拉格朗日中值公式即或记则有取在之间用拉格朗日中值定理,有限增量公式例4.11证明证令故证命题得证.练习证明当推论4.3设证例4.12证明当证而故例4.13设证即推论4.4设函数单调递增;单调递减.4.3.2函数的单调性在(a,b)内可导.证(1)由拉格朗日中值定理在[a,b]上在[a,b]上解注1:

推论4.4对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例4.14证明函数在内单调递增.

且函数的单调区间求法:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.则该区间称为函数的单调区间.驻点和不可导点,可能是单调区间的分界点．解定义域为例4.16讨论函数的单调性.

导数不存在;由介值定理：例4.17讨论方程在内的实根解原方程在内至少有一实根.综上所述,原方程在内有且仅有一个实根.因此,原方程在内至多有一实根.的个数.证令则只须证明单调增加.而单调增加.从而练习证明由拉格朗日中值定理4.4

极值与凹凸性4.4.1函数的极值定义4.1

的一个极大值(或极小值),

如果在x0的

函数的极大值与极小值统称为极值,使函数设在x0

附近有定义,某个空心邻域内,恒有注意:

极值的概念是一个局部性的概念,它仅涉取得极值的点x0称为极值点.及函数在一点附近的性质.定理4.4

(极值的必要条件)注意:可导函数的极值点必定是驻点.例如,但驻点不一定是极值点.则必有设在点处可导,且在处取得极值,

另外:连续函数的不可导点,也可能是极值点.例如,设函数在x0

处连续,定理4.5(极值的第一充分条件)在x0的某个空心邻域内可导,则(1)如果时,且

时,则在处取得极大值;(2)如果时,且时,则在处取得极小值;(3)如果在的左、右两侧同号,则在处无极值.是极值点情形不是极值点情形证(1)在x0的某个空心邻域内,有单调递减,故由故在处取得极大值.由故有单调递增,在该空心邻域内,有求函数极值的基本步骤:(3)求出各极值点处的函数值,得到相应的极值.和驻点;是否变号,确定该点是否为极值点.

如果是极值点,进一步确定是极大值点还是(1)求出

的所有可能的极值点,即不可导点(2)对(1)中求得的每个点,根据在其左、右极小值点;解例4.18求函数的极值点和极值.例4.19求函数的极值.解极大值极小值函数在其定义域内连续.导数不存在;不存在无极值不存在定理4.6(极值的第二充分条件)

注意:则设

在

处具有二阶导数,且(1)当时,函数在处取得极大值;(2)当时,函数在处取得极小值.此时仍需用定理4.5.极大值极小值证(1)在x0的某个空心邻域内,有有

在处取得极大值.所以,由二阶导数的定义,并注意到由极限的保号性,由定理4.5,例4.20求函数的极值.解函数在其定义域内连续.解得驻点4.4.2曲线的凹凸性及拐点

函数的单调增或减在几何上就是曲线上升或下

左图中的曲线弧是向下凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递增.

曲方向.

降(由左向右),除此之外,我们还需要了解曲线的弯上方;

总位于这两点间的曲线弧的右图中的曲线弧是向上凸的,它具有两个特征:

(1)连接曲线上任意两点的弦(2)曲线切线的斜率单调递减.

有时把向下凸的弧称为凹的,而把向上凸的弧下方;

总位于这两点间的曲线弧的称为凸的.曲线的这种性质称作曲线的凹凸性.

如果单调递增,

定义4.2设在区间I可导,如果单调递减,

在区间I是向上凸的,或称凸的.定理4.7

设且

有且

有现只说明

(1).连接曲线上点

和的弦的中点为

对应曲线上的点为

弦在曲线的上方即为

解例4.21判断曲线的凹凸性.解例4.22判断曲线的凹凸性.定义4.3连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线的拐点.定理4.8(拐点的第一充分条件)

设函数在x0的某邻域内连续，在去心空心邻域内存在,(1)(2)定理4.9(拐点的第二充分条件)

曲线的拐点.解例4.23求曲线的拐点及凹凸区间.

例4.24证明证令所以曲线在上是严格向下凸的.有即1.垂直渐近线

(垂直于x轴的渐近线)4.4.3函数图形的描绘一条渐近线.移向无穷点时,如果点P到某定直线L的距离趋向于零,如果例如有两条垂直渐近线:2.水平渐近线

(平行于x轴的渐近线)例如有两条水平渐近线:如果3.斜渐近线如果即且注意:解如果定义域为练习

求的渐近线.不存在;不存在;可以断定不存在斜渐近线.所以,是曲线的垂直渐近线.所以,是曲线的一条斜渐近线.因(1)确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性.和拐点.(2)确定曲线的渐近线,把握函数的变化趋势.

确定曲线的凹凸性(4)适当计算曲线上一些点的坐标,如极值,拐点的坐标,注意曲线是否与坐标轴是否有交点.函数作图的具体步骤可归纳如下:

(3)求出函数的单调性和极值,例4.25描绘函数的图形.解函数非奇非偶.定义域为水平渐近线:垂直渐近线:无斜渐近线.极大值拐点列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:作图拐点极大值补充点水平渐近线:垂直渐近线:极大值拐点4.5

单调性与不等式

本节重点介绍如何利用函数的单调性证明证1由上式得拉格朗日中值定理的条件,例4.26证明当不等式,其理论基础仍然是拉格朗日中值定理.证2先证当又因即再证当证设则于是例4.27证明当例4.28证明当证设则即即(1)式成立.证原不等式等价于练习证明不等式设例4.29设证明:其中证(1)不妨设则于是

(1)得证;(2)由(1)有再由数学归纳法,(2)得证.

(2)式称为詹生(Jensen)不等式.特别地,取

取即即“调和平均-几何平均-算术平均”不等式.用可得证练习证明当设则即例4.30证明杨氏不等式证1即得

其中

因此

证2即得杨氏不等式.

于是原不等式等价于

等价于

注

令

由杨氏不等式得称为Cauchy-Schwarz(柯西-许瓦兹)不等式.即上式称为HÖlder不等式.

或定理4.10(柯西中值定理)

使得4.6柯西中值定理与洛必达法则(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,且4.6.1柯西中值定理若函数f(x)及

F(x)满足:由拉格朗日定理,分析使得再由已知令有整理,得作辅助函数则在闭区间[a,b]上满足罗尔定理条件证即由罗尔定理,使得即由得练习设证使得即使得练习设函数证结论可变形为使得即存在一点则定理4.11如果满足条件:证由不妨设设x是该邻域内一点由定理的条件得在的某邻域内连续,故有上式两端令取极限则在处也连续.注意到于是定理的条件,可继续使用洛必达法则.说明:如果满足即证毕例4.31求解例4.32求解练习求解注意:

洛必达法则是求未定式的一种有效方法,与其它求极限方法结合使用,效果更好.定理4.12(洛必达法则)则

为了方便,我们把六种不同的极限方式都用表示,洛必达法则的一般形式如下.如果满足条件:例4.33求解例4.34求解我们用“0”和“

”分别表示无穷小和无穷大.未定式包括以上七种形式的极限称为未定式的极限.

其它五类未定型可化为方法:例4.35求解型例4.36求解型例4.37求解方法:型例4.38求解设则例4.39求解例4.40验证极限存在,但不能用洛必达法则求得.

解不满足洛必达法则的条件,故不能应用洛必达法则.不存在,也不是无穷大.

由于数列没有导数,所以不能直接用洛必达法则求数列的极限.数列未定式的极限有时可转化为函数未定式求得.

例4.41求数列的极限如果则解令则由得4.7泰勒公式

在实际问题中,往往希望用一些简单的函数来而多项式函数就是最简单的一类初等函数.首先考虑函数在一点附近的多项式近似.设n是给定的正整数,

我们考虑在点附近用n次即其中

近似代替复杂的函数.多项式来近似函数在实际应用时,必须考虑这种近似的误差.

我们用来表示,它是一种相对误差.

如果存在,我们所能期待的最理想的结果是:

当n=1且存在时,满足(4-2)式的一次多项式是存在的.

由有即满足(4-2)式的一次多项式为于是有设存在,则注意到

定理4.13(带有皮亚诺型余项的泰勒公式

)称为在处的n阶泰勒多项式.其中证令只需证则连续使用(n-1)次洛必达法则,有(4-3)式可写成其中(4-3)式称为带皮亚诺型余项的n阶泰勒公式,(4-3)式中的称为皮亚诺型余项.例4.42设函数证明:当k为奇数时,不是的极值点;

当k为偶数,且时,是的极

时,是的极大值点.小值点,证由泰勒公式有即因此当k为奇数时,不是的极值点;当k为偶数,且时,是的极小点;是的极大点.定理4.14(带有拉格朗日型余项泰勒公式

)那么使得其中称为拉格朗日型余项.现在考虑函数在区间上的多项式近似.

希望把函数在一个点的泰勒多项式作为这个函数在区

间上的一种近似表示.为此,

需要对误差进一步分析.

证利用柯西中值定理证明令且因此如果公式(4-5)变成

其中(4-7)式称为f(x)的n阶麦克劳林多项式,(4-8)式称为则f(x)的带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式.而误差估计式为称为f(x)的带皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.麦克劳林公式的用法:解因代入公式,得例4.43

求

的n阶麦克劳林公式.注意到解因例4.44

求

的2n阶麦克劳林公式.于是,由麦克劳林公式得到

常用函数的麦克劳林公式解因例4.45

利用带有皮亚诺余项的麦克劳林公式,求于是解因练习计算

解练习

将

的多项式.而例4.46

证明不等式

的三阶麦克劳林公式为

证其中故例4.47

近似计算的值，并估计误差.在的麦克劳林公式中,

解其误差取得到要使误差不超过,只要,取,于是规定

4.8

曲率4.8.1弧长的微分

单调增函数弧长的微分（简称弧微分）.曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量.))弧段弯曲程度越大转角相同弧段越短1.曲率的定义)转角越大弯曲程度越大4.8.2曲率及其计算公式

设曲线C是光滑的,曲线的弯曲程度与转角成正比,与弧长成反比.定义4.4

)yxo（则称其极限值为曲线C在点M处的曲率.曲率

曲率的计算公式由曲率的计算公式得设曲线由参数方程给出,

因所以所以直线的曲率恒为零.证明：例4.48证明：直线的曲率恒为零.不妨设圆的参数方程为证明：例4.49证明：圆上各点处的曲率等于半径的倒数.于是曲率为例4.50求抛物线上曲率最大的点.解显然,当时,k最大.所以,抛物线在顶点处的曲率最大.定义4.5

使曲率中心,曲率半径.设曲线

y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为k(k≠0).在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,称此圆为曲线在点M处的曲率圆.4.8.3曲率圆与曲率半径以D为圆心,为半径作圆(如图).(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处(3)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点注曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).的曲率越小(曲线越平坦);附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).曲率互为倒数,即第四章导数的应用分析：只要证存在证设函数例1若函数使得使得分析:只要证存在证设函数例2设函数使得使得证明在例3