机械优化设计试卷及答案

《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(X2-X12)2+(1-X1)2的最优解时，设X(0)=[-0,5,0,5]t,第一步迭代的搜索方向为[-47；-50]。2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。3、当优化问题是__凸规划 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。5、包含n个设计变量的优化问题，称为工 维优化问题。6 、函数 1XtHX+BtX+C的梯度为2HX+B。7、设g为nxn对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量也)，陌，满足(肌刀加尸。，则d。、di之间存在_共轭关系。8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。9、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定。10、 库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。11、用黄金分割法求一元函数f(x)=x2-10x+36的极小点，初始搜索区间[a,b]=[-10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2・36,2.36]。12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数、13、牛顿法的搜索方向dk=，其计算量大，且要求初始点在极小点建近—位置。14、将函数f(X)=X2+X2—XX—10X—4X+60表示成-XtHX+BtX+C的形

1 2 12 1 2 2式。15、存在矩阵H，向量d1，向量d2，当满足(d1)TGd2=0，向量d1和向量d2是关于H共轭。16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有由小到大趋于无穷特点。17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求。二、选择题1、下面方法需要求海赛矩阵。A、最速下降法B、共轭梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于约束问题minf\X）=x2+x2-4x+4g（X）=X-X2—1>0g（X）=3-x>0g3（X）=x2>0根据目标函数等值线和约束曲线，判断X（1）=[1,1^T为 ，X（2）=[5,1]T22为。A.内点；内点外点；外点内点；外点D.外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解 优化问题。A无约束优化问题B只含有不等式约束的优化问题C只含有等式的优化问题D含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索，搜索区间为[a，b]，中间插入两个点a1、b1，a1<b1，计算出f（a1）<f（b1），则缩短后的搜索区间为。A[a1，b1]B[b1，b]C[a1，b]d[a，b]1不是优化设计问题数学模型的基本要素。A设计变量B约束条件C目标函数D最佳步长6、变尺度法的迭代公式为Xk+尸Xk-akHkVf(Xk),下列不属于Hk必须满足的条件的是 。A.Hk之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C,与海塞矩阵正交D,对称正定7、函数f(X)在某点的梯度方向为函数在该点的。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中， 在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。A梯度法B牛顿法C变尺度法D坐标轮换法9、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(X)在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处。A正定B半正定C负定D半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，假设要求在区间［a，用插入两点a1、a2，且a1<a2。A、其缩短率为0.618B、a1=b-A(b-a)c、a1=a+入(b-a)D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。11、与梯度成锐角的方向为函数值」^方向，与负梯度成锐角的方向为函数值下降方向，与梯度成直角的方向为函数值 不变方向。A、上升B、下降C、不变D、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是。A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+i必为向量。A相切B正交C成锐角D共轭14、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是。A可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。B惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点。D初始点必须在可行域内15、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是A牛顿法B梯度法C共轭梯度法D变尺度法16、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度♦、慢B、快C、一样D、不确定17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是 。A需要求海赛矩阵B除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度C共轭梯度法具有二次收敛性D第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度三、问答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数—一惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。答主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。答：最速下降法此法优点是直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢，越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。四、解答题

1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5X2+0.5X2-XX-2X的最优解，设初始点X(o)=[-2,2 12 14]t,选代精度£=0.02(迭代一步)。航1可初始成P'=[71|"则如始点处函数伤及椭会分别为-24IIL26-2+4^.,

-24IIL26-2+4^.,

1%_1a'|—.ij-i唳T[_-12沿《棒的进行难搜索..1''—j[,n1''—j[,n-MD-4-IIWlq为■维搜索量佳步k皿过“门二口网椁叫印也」口求司『31=立时-180%+财.jr(rn।-6L24/C1IM)-(l5翁.N-417则,r1-2+他■I-阻2617典17//则,r1-2+他■I-阻2617典17//}=>0«i«：-1和/+笈=5喟%试用牛顿法求f(X)=(X-2)2+(X-2X)2的最优解，设初始点X(o)=[2,1]t。12设有函数HXQXj+ZXyZAXaXj试利用极值条件求其极值点和极值。求目标函数f(X)=X2+XX+2X2+4X+6X2+10的极值和极值点。5、试证明函数f(X)=2X12+5X22+X32+2X3X2+2X3X1-6X2+3在点[1,1,-2]t处具有极小值。6、给定约束优化问题minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2S.t.G1(X)=—X12—Xj+5三0G2(X)=—X1—2X2+4三0g3(X)=X1三0g4(X)=X2三0验证在点x[2,i]TKuhn-Tucker条件成立。7、设非线性规划问题

minf(X)=(x-2)2+x212s.t.g(X)=x>0g2(x)=x2>0g(X)=x2-x2+1>0用K-T条件验证X*=1,0）为其约束最优点。10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为X的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（X取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。这个简单的最优化问题可把箱子的容积丫表成变量参数令其•阶导数为零（即小皿工二0）,由工的函数，V=X6-2x）2,得极大点ml,函数极大值匕及二16,从■而获得四角截去边长1m的正方形使折转的箱子容积最大（15令其•阶导数为零（即小皿工二0）,由11、某厂生产一个容积为8000（刑3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。12、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。4、设以2的比例截取铅丝，能使问题运到最优解:Ajr1如图所示一式中把Ajr1如图所示一式中把C 号I=2：解得：AC=——-CB折成的同妤1方形的面积之和为:】+2.Cif=——】十Z则这个问题的优化数学模型为:-2内）=内）=-fT7I）fmin13、求表面积为300M2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLA