2024-2025学年高中数学专题强化训练1排列组合的综合应用含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-专题强化训练(一)排列、组合的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．设4名学生报名参与同一时间支配的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项竞赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为()A．(34,34) B．(43,34)C．(34,43) D．(Aeq\o\al(3,4)，Aeq\o\al(3,4))C[由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，依据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，依据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果．故选C.]2．若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，则eq\f(n！,3！n－3！)的值为()A．1 B．20C．35 D．7C[若Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(4,n)，则eq\f(nn－1n－2,3×2×1)＝eq\f(nn－1n－2n－3,4×3×2×1)，可得n＝7，所以eq\f(n！,3！n－3！)＝eq\f(7！,3！4！)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.]3．在100件产品中，有3件是次品，现从中随意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为()A．Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97) B．Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,97)C．Ceq\o\al(5,100)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,97) D．Ceq\o\al(5,100)－Ceq\o\al(5,97)B[依据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种状况，“有2件次品”的抽取方法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97)种，“有3件次品”的抽取方法有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,97)种，则共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,97)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,97)种不同的抽取方法，故选B.]4．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种 B．63种C．65种 D．66种D[和为偶数共有3种状况：取4个数均为偶数有Ceq\o\al(4,4)＝1种取法；取2奇数2偶数有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,5)＝60种取法；取4个数均为奇数有Ceq\o\al(4,5)＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．]5．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟识道路的有4人，每组都须要2人，那么不同的安排方法种数是()A．60 B．120C．240 D．480A[先将4个熟识道路的人平均分成两组有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))种．再将余下的6人平均分成两组有eq\f(C\o\al(3,6)·C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))种．然后这四个组自由搭配还有Aeq\o\al(2,2)种，故最终安排方法有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,6)＝60(种)．]二、填空题6．有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担当语文、数学、英语、物理学科的课代表，若某女生必需担当语文课代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)720[由题意知，从剩余10人中选出3人担当3个学科课代表，有Aeq\o\al(3,10)＝720种．]7．两人进行乒乓球竞赛，先赢3局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有________种．20[分三种状况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2Ceq\o\al(2,3)＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2Ceq\o\al(2,4)＝12种情形．全部可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．]8．某地奥运火炬接力传递路途共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答)96[甲传第一棒，乙传最终一棒，共有Aeq\o\al(4,4)种方法．乙传第一棒，甲传最终一棒，共有Aeq\o\al(4,4)种方法．丙传第一棒，共有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)种方法．由分类计数原理得，共有Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(4,4)＝96(种)方法．]三、解答题9．现有5名老师要带3个不同的爱好小组外出学习考察，要求每个爱好小组的带队老师至多2人，但其中甲老师和乙老师均不能单独带队，求不同的带队方案有多少种？[解]第一类，把甲、乙看做一个复合元素，和另外的3人安排到3个小组中，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(种)，其次类，先把另外的3人安排到3个小组，再把甲、乙安排到其中2个小组，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(种)，依据分类加法计数原理可得，共有18＋36＝54(种)．10．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出全部4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最终一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了全部4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)种测法，再排余下4件的测试位置，有Aeq\o\al(4,4)种测法．所以共有不同测试方法Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680种．(2)第5次测试恰为最终一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576种．1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300B．216C．180D．162C[分两类：第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，依据分步乘法计数原理可知，共有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝72(个)符合要求的四位数；其次类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，依据分步乘法计数原理可知，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,3)·(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝108(个)符合要求的四位数．依据分类加法计数原理可知，满意题意的四位数共有72＋108＝180(个)，故选C.]2．某班班会打算从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参与，当甲、乙同时参与时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言依次的排法种数为()A．360 B．520C．600 D．720C[依据题意，可分两种状况探讨：①甲、乙两人中只有一人参与，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(4,4)＝480(种)状况；②甲、乙两人都参与，有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)状况，其中甲、乙两人的发言相邻的状况有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)＝120(种)．故不同发言依次的排法种数为480＋240－120＝600.]3．将10个运动员名额分给7个班，每班至少1个，则不同的安排方案的种数为________．84[因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙．在9个空隙中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班．每一种插板方法对应一种安排方案，则共有Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84种安排方案．]4．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．2[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,x)＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]5．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？[解](1)44＝256(种)．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先