人教A版高中数学选择性必修第一册第一章1.4.1第1课时空间中点、直线和平面的向量表示课件

第1课时空间中点、直线和平面的向量表示第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系整体感知[学习目标]

1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象)2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理)(教师用书)立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来．那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？[讨论交流]

问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？问题3．空间直线和平面的向量表示式分别是什么？其依据是什么？问题4．求一个平面的法向量的一般步骤是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1空间中点的向量和直线的向量表示探究问题1

在空间中，如何确定一条直线？[提示]

两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线．

方向向量【教用·微提醒】

(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．

[学以致用]

1．已知点A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直线l上的两点．(1)求直线l的一个方向向量；(2)判断点M(3，3，1)是否在直线l上．

探究2空间中平面的向量表示探究问题2向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？[提示]

存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb.探究问题3如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？

不共线

法向量【教用·微提醒】

(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行．【链接·教材例题】例1如图1.4-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量．

[母题探究]本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．

发现规律

如何确定平面的法向量？

[学以致用]

2．已知点A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，则下列向量是平面ABC的一个法向量的是(

)A．(－1，3，－1)

B．(－1，－3，－1)C．(1，3，1)

D．(－1，3，1)√

3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系．

(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面A1BC的法向量．

应用迁移23题号411．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

)A．(3，2，1)

B．(1，3，2)C．(2，1，3)

D．(1，2，3)√

23题号41√2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(

)A．(0，－3，1)

B．(2，0，1)C．(－2，－3，1)

D．(－2，3，－1)D

[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是平面的一个法向量．故选D．]23题号413．设直线l的方向向量为m＝(2，－1，z)，平面α的一个法向量为n＝(4，－2，－2)，若直线l∥平面α，则实数z的值为(

)A．－5

B．5C．－1

D．1√B

[若直线l∥平面α，则m·n＝0，故8＋2－2z＝0，解得z＝5.故选B．]23题号414．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_______________．

x＋2y－3z＝0

1．知识链：(1)空间中点和直线的向量表示．(2)空间中平面的向量表示．(3)平面法向量的求法．2．方法链：待定系数法、赋值法．3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0.回顾本节知识，自主完成以下问题：1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？

2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？[提示]

共线．3．如何求一个平面的法向量？

课时分层作业(七)空间中点、直线和平面的向量表示题号135246879101112131415

√

题号135246879101112131415题号1352468791011121314152．若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

)A．(1，2，4)

B．(1，4，2)C．(0，2，－1)

D．(0，4，12)√

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√

题号3524687910111213141515．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(

)A．A(2，3，2)

B．B(－2，0，1)C．C(－4，4，0)

D．D(3，－3，4)√√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．

－2012题号3524687910111213141517．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：

(1)直线AB的方向向量有________个；(2)平面AA1B1B的法向量有________个．88题号352468791011121314151

题号3524687910111213141518．已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量：u＝____________________________．(用坐标表示)

(－3，0，－2)(答案不唯一)题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号35246879101112131415110．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是(

)A．(1，－2，4)

B．(－4，1，－2)C．(2，－2，1)

D．(1，2，－2)√

题号352468791011121314151题号35246879101112131415111．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(

)A．1

B．－2C．0

D．－1√

题号352468791011121314151

题号35246879101112131415112．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为____________________．(1，2，1)(答案不唯一)

[根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0，则平面α的一个法向量为(1，2，1)．](1，2，1)(答案不唯一)

题号352468791011121314151

题号35246879101112131415114．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3