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文档简介
微专题5导数法研究恒(能)成立问题第五章一元函数的导数及其应用用导数研究恒(能)成立问题时,一般我们既要对函数和方程的形式进行观察,又要时刻注意数形结合帮助我们理解题意,需要灵活的选择合适的方法解决问题,常见的用导数解决恒(能)成立的方法有分离变量法、分类讨论法、等价转化法等,下面进行举例说明.
反思领悟
(1)一般情况下,对于分参后的求解范围问题常有以下结论:①a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.②a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.(2)分离变量时注意不等号的方向是否发生改变.
反思领悟
分类讨论法解决恒成立、能成立问题时需要确定分类标准,做到不重不漏.一般情况下,分类时常考虑以下情况:(1)最高次项系数的正负情况(注意0);(2)导数的零点存在与否(二次的一般用Δ);(3)极值点的大小关系(分三种情况,包括相等);(4)极值点与定义域的关系.
√
类型3等价转化法解决恒(能)成立问题【例3】已知f(x)=xex-ex,g(x)=mx-m(m>0),若对任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2]使得f(x1)=g(x2),求实数m的取值范围.[解]
∵f(x)=xex-ex=ex(x-1),∴f′(x)=ex(x-1)+ex=xex,由f′(x)>0,得x>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f′(x)<0,得x<0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴当x=0时,f(x)min=f(0)=-1,又f(-2)=-3e-2,f(2)=e2,∴f(x)在[-2,2]上的值域为[-1,e2],又g(x)=mx-m(m>0)在[-2,2]上是增函数,∴g(x)在[-2,2]上的值域为[-3m,m].若对任意的x1∈[-2,2],总存在x2∈[-2,2],使得f(x1)=g(x2),则[-1,e2]⊆[-3m,m],∴-3m≤-1<e2≤m,解得m≥e2,即实数m的取值范围是[e2,+∞).
[学以致用]
3.已知函数f(x)=ex-k-klnx,g(x)=ex-kx,∀x∈(1,+∞),f(x)<g(x)恒成立,则实数k的取值范围是
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