随机过程考试真题

随机过程考试真题随机过程考试真题/PAGE随机过程考试真题1、设随机过程 X(t) Rt C，t (0, )，C为常数， R听从[0,1]区间上的均匀散布。

1）求X(t)的一维概率密度和一维散布函数；

2）求X(t)的均值函数、有关函数和协方差函数。

2、设W(t), t 是参数为 2的维纳过程，R~N(1,4)是正态散布随机变量；

且对随意的 t ，W(t)与R均独立。令 X(t) W(t) R，求随机过程

X(t), t 的均值函数、有关函数和协方差函数。

3、设抵达某商场的顾客人数是一个泊松过程，均匀每小时有 180人，即 180；且每个

顾客的花费额是听从参数为 s的指数散布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学希望与方差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

（1）求两步转移概率矩阵P(2)及当初始散布为时，经两步转移后处于状态2的概率。（2）求马尔可夫链的安稳散布。5设马尔可夫链的状态空间 I {1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

求状态的分类、各常返闭集的安稳散布及各状态的均匀返回时间。

6、设 N(t),t 0是参数为 的泊松过程，计算 EN(t)N(t s)。

7、考虑一个从基层启动上涨的电梯。以

Ni记在

i

第层进入电梯的人数。假设

Ni

互相独立，

且Ni是均值为

i的泊松变量。在第

i层进入的各个人互相独立地以概率

pij

在第

j

层走开电

梯，

pij

1。令Oj＝在第

j

层走开电梯的人数。

i

1）计算E(Oj)2）Oj的散布是什么

3）Oj与Ok的结合散布是什么

8、一质点在 1，2，3点上作随机游动。若在时辰t质点位于这三个点之一， 则在[t,t h)内，

它都以概率 h o(h)分别转移到其余两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微

分方程，转移概率 pij(t)及安稳散布。

1有随机过程{(t)，-<t<}和{(t)，-<t<}，设(t)=Asin( t+)，(t)=Bsin(t++), 其

中A，B，，为实常数， 均匀散布于[0，2]，试求R(s,t)

2（15分）随机过程()=Acos(+)，-<t<+，此中A,,是互相统计独立的随机变量，ttEA=2,DA=4,是在[-5,5]上均匀散布的随机变量，是在[-，]上均匀散布的随机变量。试剖析(t)的安稳性和各态历经性。3某商铺顾客的到来听从强度为 4人每小时的 Poisson过程，已知商铺 9：00开门，试求：

1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在将来半小时中，仍无顾客到来的概率。

4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、热销（用3表示）。若经过对历史资料的整理剖析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时辰没关，且其状态转移概率为pijij表示从销售状态i经过一个月后转为（p销售状态 j的概率），一步转移开率矩阵为：

试对经过长时间后的销售情况进行剖析。

5设{X(t),t0}是独立增量过程 ,且X(0)=0,证明{X(t),t0}是一个马尔科夫过程。

6设 N(t),t 0是强度为 的泊松过程， Yk,k=1,2,L 是一列独立同散布随机变量，且

N(t)与N(t),t 0独立，令X(t)= Yk,t 0，证明：若 E(Y12< )，则EX(t) tEY1

k=1

7.设明日能否有雨仅与今日的天气有关，而与过去的天气没关。又设今日下雨而明日也下雨的概率为 ，现在天无雨明日有雨的概率为 ；规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态 1。

设0.7,，求今日有雨且第四天仍有雨的概率。

8设

t,

t

是安稳过程，令

t

tcos

0t

,

t

，此中

0

是常数， 为均匀散布在

[0,2]上的随机变量，且

t,

t

与互相独立，

R()和

S()分别是

t,

t

的有关函数与功率谱密度，试证：

（1） t, t 是安稳过程，且有关函数：

（2） t, t 的功率谱密度为：

9已知随机过程 (t)的有关函数为：

2

e，问该随机过程(t)能否均方连续？能否均方可微？

1、设随机过程 X(t) Rt C，t (0, )，C为常数， R听从[0,1]区间上的均匀散布。

1）求X(t)的一维概率密度和一维散布函数；

2）求X(t)的均值函数、有关函数和协方差函数。【理论基础】

x

（1）F(x) f(t)dt，则f(t)为密度函数；

（2）X(t)为(a,b)上的均匀散布，概率密度函数1,axb，散布函数f(x)ba0,其余

0,xa(ba)2xaabF(x),axb，E(x)，D(x)；bab2121,x（3）参数为的指数散布，概率密度函数f(x)ex,x0，散布函数0,x0F(x)1ex,x0，0,x0（4）E(x) ,D(x)

1，D(x)1E(x)2；1(x)22的正态散布，概率密度函数f(x)e22,x，2(t)2散布函数F(x)

1

2

x2dt,x，若0,1时，其为标准正态散布。e2【解答】本题可参加课本习题及题。（1）因R为[0,1]上的均匀散布，C为常数，故X(t)亦为均匀散布。由R的取值范围可知，

1X(t)为[C,Ct]上的均匀散布，所以其一维概率密度f(x)t,CxCt，一维散布0,其余0,xC函数F(x)xC,CXCt；tCt1,x（2）依占有关定义，均值函数mX(t)EX(t)tC；2有关函数RX(s,t)E[X(s)X(t)]1stC(st)C2；32协方差函数BX(s,t)E{[X(s)mX(s)][X(t)mX(t)]}stt时为方差函数）（当s12【注】D(X)E(X2)E2(X)；BX(s,t)RX(s,t)mX(s)mX(t)求概率密度的通解公式ft()f(y)|y'()|f(y)/|x'(y)|xx2、设W(t),

对随意的

t

t

是参数为

，W(t)与

2的维纳过程， R~N(1,4)是正态散布随机变量；且

R均独立。令 X(t) W(t) R，求随机过程

X(t),

t

的均值函数、有关函数和协方差函数。

【解答】本题解法同

1题。

依题意，

W(t)~N(0,

2|t|)，R~N(1,4)，所以 X(t)

W(t)

R听从于正态散布。故：

均值函数

mX(t)

EX(t)

1；

有关函数RX(s,t)E[X(s)X(t)]5；协方差函数 BX(s,t) E{[X(s) mX(s)][X(t) mX(t)]} 4（当s t时为方差函数）

3、设抵达某商场的顾客人数是一个泊松过程，均匀每小时有 180人，即 180；且每个

顾客的花费额是听从参数为 s的指数散布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学希望与方差。

【解答】本题可拜见课本习题题。

由题意可知，每个顾客的花费额 Y是听从参数为 s的指数散布，由指数散布的性质可知：E(Y) 1 ,D(Y) 1

s s2

业额的数学希望 mX(8)

，故E(Y

8 180

2 2) s2，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营

E(Y)；

一天内商场营业额的方差 X2(8) 8180 E(Y2)。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

（1）求两步转移概率矩阵 P(2)及当初始散布为

时，经两步转移后处于状态 2的概率。

（2）求马尔可夫链的安稳散布。

【解答】可参照教材例题及题（1）两步转移概率矩阵

当初始散布为 P{X0 1} 1, P{X0 2} P{X0 3} 0时，

故经两步转移后处于状态 2的概率为 。

2）因为马尔可夫链是不行约的非周期有限状态，所以安稳散布存在。得以下方程组解上述方程组得安稳散布为

5、设马尔可夫链的状态空间 I {1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为：

求状态的分类、各常返闭集的安稳散布及各状态的均匀返回时间。

【解答】本题比较综合，可参加例题和题

画出状态转移图以下：

42

1

35（1）由上图可知，状态分类为 G1 {1,2,3};G2 {4,5}

2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下边分别求其安稳散布及各状态的均匀返回时间。

A、对G1常返闭集而言，解方程组

解上述方程组得安稳散布为

则各状态的均匀返回时间分别为

B、对G2常返闭集而言，解方程组

解上述方程组得安稳散布为则各状态的均匀返回时间分别为6、设 N(t),t 0是参数为 的泊松过程，计算 EN(t)N(t s)。

【解答】

7、考虑一个从基层启动上涨的电梯。以 Ni记在i第层进入电梯的人数。假设 Ni互相独立，

且Ni是均值为 i的泊松变量。在第 i层进入的各个人互相独立地以概率 pij在第j层走开电

梯， pij 1。令Oj＝在第j层走开电梯的人数。

i

1）计算E(Oj)

2）Oj的散布是什么

3）Oj与Ok的结合散布是什么

【解答】本题与本书联系不大，占有关方面信息，此次考试本题不考。

以Nij记在第i层乘上电梯，在第j层离开的人数，则Nij是均值为ipij的泊松变量,且所有Nij(i0,ji)互相独立。所以：(1)E[Oj]E[Nij]ipijii(2)由泊松变量的性质知，OjNij是均值为ipij的泊松变量iiikki(3)因Oi与Ok独立，则P(OiOk)P(Oi)P(Ok)e?ee2，为希望。i!k!i!k!8、一质点在 1，2，3点上作随机游动。若在时辰t质点位于这三个点之一， 则在[t,t h)内，

它都以概率 h o(h)分别转移到其余两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微

分方程，转移概率 pij(t)及安稳散布。

【解答】参赐教材习题 题pij(t)(ij)得，qij1(ij)，柯尔莫哥洛夫向前面程为依题意，由limqijt0tpij' 2pij(t) pi,j1(t) pi,j1(t)，

因为状态空间 I {1,2,3}，故

pij(t) pi,j1(t) pi,j1(t) 1，

所以

pij' 2pij(t) 1 pij(t) 3pij(t) 1，

解上述一阶线性微分方程得：

1tpij(t) ce3

由初始条件

确立常数c，得

1，3

故其安稳散布

1、有随机过程{(t)，-<t<}和{(t)，-<t<}，设(t)=Asin(t+)，(t)=Bsin(t++),此中A，B，，为实常数，均匀散布于[0，2]，试求R(s,t)

1.解：f1,0220,其余2、随机过程 (t)=Acos(t+ )，-<t<+ ，此中A, , 是互相统计独立的随机变量， EA=2,

DA=4, 是在[-5,5]上均匀散布的随机变量， 是在[-，]上均匀散布的随机变量。 试剖析

(t)的安稳性和各态历经性。

2、解：

所以拥有安稳性。

故均值拥有各态历经性。

故有关函数不拥有各态历经性。

3、某商铺顾客的到来听从强度为 4人每小时的 Poisson过程，已知商铺 9：00开门，试求：

1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在将来半小时中，仍无顾客到来的概率。

3、解：设顾客到来过程为{N(t),t>=0}，依题意N(t)是参数为的Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为N10，在将来半小时仍无顾客到来可表2示为N1N10，进而所求概率为：24、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、热销（用3表示）。若经过对历史资料的整理剖析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时辰没关，且其状态转移概率为pijij表示从销售状态i经过一个月后转为（p销售状态 j的概率），一步转移开率矩阵为：

试对经过长时间后的销售情况进行剖析。

4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且 pii>0，进而所有状态都是遍历状态，于是

极限散布就是安稳散布。设安稳散布为 ={ 1，2，3}，求解方程组：

=P, 1+ 2+ 3=1

即：

得：

即极限散布为：896,23,2323由计算结果能够看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而热销状态的可能性最小。5、试对以以下矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。00000（1）P0000000130004411000（2）P22100000012033100005、6、一个服务系统，顾客按强度为的Poisson过程抵达，系统内只有一个服务员，而且服务时间听从参数为的负指数散布，假如服务系统内没有顾客，则顾客抵达就开始服务，不然他就排队。可是，假如系统内有两个顾客在排队，他就走开而不返回。