专题11 完全平方公式的应用和几何背景 带解析

2022-2023学年湘教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题11完全平方公式的应用和几何背景阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2022七下·乐亭期末）若，，则（）A．-3 B．3 C．-4 D．4【答案】A【规范解答】∵，，∴即4=10+2xyxy=-3故答案为：A

【思路点拨】利用完全平方公式可得，再将，代入计算即可。2．（2分）（2022七下·迁安期末）在多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（）嘉琪：添加，陌陌：添加，嘟嘟：添加，A．嘉琪和陌陌的做法正确 B．嘉琪和嘟嘟的做法正确C．陌陌和嘟嘟的做法正确 D．三位同学的做法都错误【答案】A【规范解答】解：添加，，故嘉琪的表述是正确的；添加，，故陌陌的表述是正确的；嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的，故答案为：A【思路点拨】根据（ab）2=a22ab+b2的结构特征进行判断即可.3．（2分）（2022七下·浑南期末）如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系验证了一个等式，这个等式是（）A． B．C． D．【答案】D【规范解答】解：大正方形的面积=（y+x）2，小正方形的面积=（y-x）2，四个长方形的面积=4xy，则由图形知，大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积，

即（y+x）2-（y-x）2=4xy．故答案为：D．【思路点拨】利用“大正方形的面积-小正方形的面积=四个矩形的面积”，可得（y+x）2-（y-x）2=4xy。4．（2分）（2022七下·相城期末）若，那么代数式的值为（）A． B． C．1 D．3【答案】B【规范解答】解：∵，∴，，故答案为：B．【思路点拨】根据原始条件得出，再根据平方差公式将原式的括号展开，再合并同类项后代值计算，即可得出结果.5．（2分）（2022七下·北海期末）下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【规范解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式=2a-2a2，符合题意；C、原式=-a3b6，不符合题意；D、原式=a2+2ab+b2，不符合题意，故答案为：B.【思路点拨】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项，不是同类项的不能合并，可判断A；根据单项式与多项式的乘法法则可判断B；积的乘方，先将每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D.6．（2分）（2022七下·义乌期中）下列结论中：①若，则；②若，则的值为；③若规定：当时，，若，则；④若，则可表示为；⑤若的运算结果中不含的一次项，则.其中正确的个数是()A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【规范解答】解：①可以分为三种情况：

当x+1＝0时，x＝﹣1；

当1﹣x＝1时，x＝0；

当1﹣x＝﹣1，x＝2，但x+1＝3不是偶数，舍去，

综上所述，x＝﹣1或0，

∴①不符合题意；

②（2﹣a）（2﹣b）

＝4﹣2b﹣2a+ab

＝4﹣2（a+b）+ab，

∵a﹣b＝1，a2+b2=3，

∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3﹣2ab＝1，

∴ab＝1，

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，

∴a+b＝±，

当a+b＝时，原式＝4﹣2+1＝5﹣2，

当a+b＝﹣时，原式＝4+2+1＝5+2，

∴②不符合题意；

③根据定义得：=a+4﹣a﹣a（4﹣a）＝0，

∴a2-4a+4=0，

∴（a-2）2=0，

∴a＝2，

∴③符合题意；

④∵4x＝（22）x＝22x=a，8y＝（23）y＝23y=b，

∴24x﹣3y＝24x÷23y＝（22x）2÷23y＝a2÷b=，

∴④不符合题意；

⑤（x+1）（x﹣a）=x2-ax+x-a=x2-（a-1）x-a，

∵（x+1）（x﹣a）运算结果不含x的一次项，

∴a-1=0，

∴a=1，

∴⑤符合题意，

∴正确的有③⑤.

故答案为：D.

【思路点拨】①可以是零指数幂，可以是1的任何次幂，可以是﹣1的偶数次幂，据此判断即可；②先求出ab的值，再求出a+b的值，最后代入代数式求值，据此判断即可；③根据新定义列出方程求解即可；④把a，b先化成底数为2的幂，再将原式进行化简求值，即可判断；⑤先把原式进行运算，根据结果不含一次项，进而可得出a的值．7．（2分）（2020七下·秦淮期末）如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【规范解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；故答案为：C.【思路点拨】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.8．（2分）（2020七下·郑州期末）如图，有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图甲，将A,B并列放置后构造新的正方形得图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30,则正方形A、B的面积之和为()A．33 B．30 C．27 D．24【答案】A【规范解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b

由图甲得：S1=(a-b)2=3，即：a2-2ab+b2=3

由图乙得：S2=(a+b)2-a2-b2=30，化简得：2ab=30

∴a2+b2-30=3

∴a2+b2=33

故答案为：A.【思路点拨】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，把图甲和图乙中的阴影面积用a、b的代数式表示出来，可以得到两个等式，进而得出答案.9．（2分）（2019七下·句容期中）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【规范解答】解：∵a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020．，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）]＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝×[1+4+1]＝3，故答案为：C．【思路点拨】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解．10．（2分）（2019七下·兰州月考）观察下列各式及其展开式:（）……你猜想的展开式第三项的系数是()A．66 B．55 C．45 D．36【答案】C【规范解答】解：观察上面式子，总结规律可得的展开式第三项系数为，所以的展开式第三项的系数是故答案为：C.【思路点拨】利用各个等式中第三项的系数，可得的展开式第三项系数为，然后将n=10代入计算即可.阅卷人二、填空题(共8题；每题2分，共16分)得分11．（2分）（2022七下·会同期末）已知，则的值等于．【答案】【规范解答】解：∵，∴，，，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：.【思路点拨】对已知等式两边同时平方可得(a-b)2、(b-c)2、(c-a)2的值，结合完全平方公式可得2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)的值，结合已知条件就可求出ab+bc+ca的值.12．（2分）（2022七下·东明期末）已知，，则ab的值为．【答案】15【规范解答】解：∵，，∴，∴．故答案为：15

【思路点拨】由，然后将代入即可求解.13．（2分）（2022七下·杭州期末）如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，则图中阴影部分面积.【答案】12.5【规范解答】解：由题知，，.，，，，，，阴影部分面积.故答案为：12.5.【思路点拨】根据长方形的周长以及面积可得a+b=8，ab=15.75，根据(a+b)2=a2+b2+2ab可得a2+b2的值，由正方形的面积公式可得S阴影=S1+S2+S3=(6-b)2+(6-a)2+(a+b-6)2=a2+b2-12(a+b)+76，据此计算.14．（2分）（2022七下·亭湖期末）在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为.【答案】2【规范解答】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，∵，，∴，∵，∴.故答案为：2.【思路点拨】根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积建立等式，然后代值计算，结合a>b，即可求出a-b的值.15．（2分）（2022七下·荷塘期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，其边长分别为a、b，如果，，那么阴影部分的面积是.【答案】11【规范解答】解：在正方形ABCD与DEFG中，AB=BC=AD=a，FG=EF=ED=GD=b，，，将，代入上式，得，根据三角形面积公式，阴影部分的面积==，阴影部分的面积=，故答案为：11.【思路点拨】由正方形的性质及线段的和差可求出，由可得，从而可求，由于阴影部分的面积===，据此即得得解.16．（2分）（2020七下·嘉兴期末）如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为.【答案】31【规范解答】解：∵四边形PMNF和四边形GHCF都是正方形，∴S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2，∴PF2+CF2=42，∵长方形PECF的面积为11，∴CF•PF=11，∴（PF+CF）2=PF2+CF2+2CF•PF=64，∴PF+CF=8，∵长方形ABCD的面积=BC•CD=（BE+PF）•（CF+DF），∴长方形ABCD的面积=（2+PF）（2+CF）=4+PF•CF+2（PF+CF）=31，故答案为：31.【思路点拨】由正方形的性质和矩形的性质可得S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2，CF•PF=11，由完全平方公式可求PF+CF=8，即可求解.17．（2分）（2019七下·涡阳期末）已知a2+ab+b2=7，a2-ab+b2=9，则（a+b）2=．【答案】6【规范解答】解：∵a2+ab+b2=7①，a2-ab+b2=9②，∴①+②得：2（a2+b2）=16，即a2+b2=8，①-②得：2ab=-2，即ab=-1，则原式=a2+b2+2ab=8-2=6，故答案为：6【思路点拨】已知两等式相加减求出a2+b2与ab的值，原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．18．（2分）（2019七下·北京期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数，等等．有如下四个结论：①（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；②当a=-2，b=1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值是-1；③当代数式a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的值是0时，一定是a=-1，b=1；④（a+b）n的展开式中的各项系数之和为2n．上述结论中，正确的有（写出序号即可）．【答案】①②【规范解答】解：∵在杨辉三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等∴在杨辉三角形中第行的个数，对应展开式中各项的系数，①∵展开式中各项的系数，为杨辉三角形中第6行的6个数，∴；②∵各项系数对应杨辉三角中的第4行的4个数，∴，当时，代数式=；③∵各项系数对应杨辉三角中的第5行的5个数，∴，当代数式时，，不一定是；④∵当时，展开式各项之和便是系数之和，∴的展开式中的各项系数之和为，故答案为：①②．【思路点拨】根据题中举例说明，明确杨辉三角的与的展开式的系数间的对应关系，据此逐项分析．阅卷人三、解答题(共9题；共64分)得分19．（6分）（2022七下·化州期末）阅读：已知a-b＝-4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：解：因为a-b＝-4，ab＝3，所以a2+b2＝（a-b）2+2ab＝（-4）2+2×3＝22．请你根据上述解题思路解答下面问题：已知a-b＝-5，ab＝2，求a2+b2-ab的值．【答案】解：∵a-b＝-5，ab＝2，∴a2+b2-ab＝a2+b2-2ab+ab＝（a-b）2+ab＝（-5）2+2＝27【思路点拨】利用完全平方公式，结合a-b＝-5，ab＝2，计算求解即可。20．（5分）（2022七下·镇江期中）阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等”本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等”.事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实.如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角.假设∠1∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线.根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD.这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明∠1∠2的假设不正确，于是∠1=∠2.解决问题：若且，请你用以上方法说明：.【答案】解：假设，∵，∴，即x=0或y=0，这与且相矛盾，∴假设不成立，于是：.【思路点拨】假设x2+y2=(x+y)2，根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+2xy+y2，则2xy=0，据此可得x=0或y=0，这与x≠0且y≠0相矛盾，故假设不成立，据此解答.21．（5分）（2022七下·北仑期中）先化简，再求值：(2a－3b)2－(2a＋3b)(2a－3b)＋6b(a-3b).其中a=6，b=.【答案】解：原式=4a2-12ab+9b2-4a2+9b2+6ab-18b2=-6ab，

当a=-6，b=时，

原式=-6×（-6）×=18.【思路点拨】根据整式混合运算顺序和法则进行化简，再把a，b的值代入进行计算，即可得出答案.22．（10分）（2022七下·合肥期末）如图是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图的图形．（1）（3分）观察图形，请你写出、、之间的等量关系式；（2）（3分）若，利用（1）中的结论，求的值；（3）（4分）若，求的值．【答案】（1）解：．理由如下：观察图形知，图中大正方形的面积为：，阴影面积为：，则图中个小长方形面积的和为：；图中个小长方形面积的和为：；由此得出：．（2）解：由（1）中的结论可知，，，等号两边平方得，，，．（3）解：∵，设，，而则则．即【思路点拨】（1）利用不同的表达式表示同一个面积可得；

（2）利用（1）的计算方法可得，再求解即可；

（3）设，，而，则再利用（1）的计算方法可得答案。23．（6分）（2022七下·光明期末）【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．（1）（1分）【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式；（2）（1分）【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式；（3）（4分）【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积．【答案】（1）（2）（3）解：根据题意得：，由（2）得：，当，时，，解得：，即阴影部分的面积为25．【规范解答】（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，∴该正方形的面积还可以表示为，∴；故答案为：；（2）解：从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，∴该正方形的面积还可以表示为；∴；故答案为：【思路点拨】（1）分别求出图2中的每个小长方形的面积，再相加即可得到答案；

（2）分别求出图3中的每个小长方形的面积，再相加即可得到答案；

（3）利用（2）的结论进行计算即可。24．（9分）（2022七下·抚州期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．例题：求的最小值．解：．因为不论x取何值，总是非负数，即．所以．所以当时，有最小值，最小值是1.根据上述材料，解答下列问题：（1）（1分）填空：=（x-）2．（2）（3分）将变形为的形式，并求出的最小值．（3）（4分）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为．试比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）9；3（2）解：，当时，取最小值，最小值为；（3）解：．理由如下：∵，，∴．∵，∴，∴，∴．【规范解答】（1）解：，故答案为：9，3；

【思路点拨】完全平方公式的应用，由于完全平方式是一个非负数，故二次三项式可转化为一个非负数与实数和的形式，即总有最小值。25．（9分）（2022七下·诸暨期末）如图①，长方形ABCD的边长分别为a、b，请认真观察图形，解答下列问题：（1）（1分）若用四个完全相同的长方形ABCD拼成如图②的正方形，请写出下列三个代数式，，ab之间的一个等量关系式：．（2）（4分）根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．（3）（4分）若将长方形ABCD的各边向外作正方形（如图③），若四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20，求出长方形ABCD的面积．【答案】（1）(a+b)2=（a-b）2+4ab（2）解：由（1）中等量关系可得：(x+y)2=（x-y）2+4xy，

∴（x-y）2=(x+y)2-4xy，

∵x+y=7，xy=6，

∴（x-y）2=49-24=25，

∴x-y=±5.（3）解：设长方形ABCD的长AB=a，宽BC=b，

∵四个正方形周长之和为32，四个正方形面积之和为20，

∴，，

∴，

∴长方形ABCD的面积为3.【规范解答】解：（1）由图②可知：大正方形面积=小正方形的面积+4个矩形的面积，

∴(a+b)2=（a-b）2+4ab.

故答案为：(a+b)2=（a-b）2+4ab.

【思路点拨】（1）由拼图可得：图②中大正方形的边长为(a+b)，小正方形的边长为(a-b)，根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个矩形的面积进行解答；

（2）根据（1）的结论可得（x-y）2=(x+y)2-4xy，然后将x+y、xy的值代入计算即可；

（3）根据正方形的周长、面积公式可得8(a+b)=32，2(a2+b2)=20，然后根据ab=进行计算，即可求解.26．（6分）（2022七下·商河期末）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：（1）（1分）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：．（2）（2分）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值；（3）（3分）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积．【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2-2ab（2）解：由（1）得，a2+b2＝（a+b）2-2ab，∵a+b＝7，ab＝10，∴a2+b2＝72-2×10=29；（3）解：设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，∵AC+BC=8，S1