统考版2024高考数学二轮复习板块1命题区间精讲精讲5排列组合与二项式定理学案含解析理_第1页
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文档简介

PAGE1-排列、组合与二项式定理命题点1排列、组合的应用1.求解有限制条件排列问题的5种主要方法(1)间接法:对于分类过多的问题,一般利用正难则反、等价转化的方法;(2)捆绑法:相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时留意捆绑元素的内部排列;(3)插空法:不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中;(4)除法:对于定序问题,可先不考虑依次限制,排列后,再除以已定元素的全排列;(5)干脆法:①分类法:选定一个适当的分类标准,将要完成的事务分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数;②分步法:选定一个适当的标准,将事务分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数.2.求解排列、组合问题的3个易错点(1)分类标准不明确,有重复或遗漏;(2)混淆排列问题与组合问题;(3)解决捆绑问题时,遗忘“松绑”后的全排列.[高考题型全通关]1.五名同学相约去国家博物馆参观大型展览,参观结束后五名同学排成一排照相留念,若甲、乙二人不相邻,则不同的排法共有()A.36种B.48种C.72种D.120种C[除甲、乙二人外,其他3个同学先排成一排,共有Aeq\o\al(3,3)=6种,这3个同学排好后,留下4个空位,排甲、乙,共有Aeq\o\al(2,4)=12种,所以,不同排法有6×12=72种,故选C.]2.(2024·长治一模)2024年北京冬季奥运会将在北京和张家口实行,现预备支配甲、乙、丙、丁四人参与3个志愿服务项目,每人只参与一个志愿服务项目,每个项目都有人参与,则不同的支配方案有()A.24 B.36C.48 D.72B[先把4人分成3组,然后把3组全排列有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)=36种.故选B.]3.中国古代的五经是指:《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》,现甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选了一本不同的书作为课外爱好研读,若甲、乙都没有选《诗经》,乙也没选《春秋》,则5名同学全部可能的选择有()A.18种 B.24种C.36种 D.54种D[若甲选《春秋》,则有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)=18种状况;若甲不选《春秋》,则有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)=36种状况.所以5名同学全部可能的选择有18+36=54种.]4.用两个1,一个2,一个0可组成不同四位数的个数是()A.18 B.16C.12 D.9D[若把两个1看作不同的数,先支配0有3种状况,支配第2个数有3种状况,支配第3个数有2种状况,支配第4个数有1种状况,一共有3×3×2×1=18种状况,由于有两个1,所以其中一半重复,故有9个四位数.]5.(2024·德阳模拟)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片各是一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同取法的种数为()A.472 B.256C.232 D.484B[依据题意,分2种状况探讨:①取出的3张卡片中没有红色,则其他三种颜色各取一张,有4×4×4=64种取法;②取出的3张卡片有1张红色,须要在其他三种颜色任选2种,有Ceq\o\al(2,3)×4×4×4=192种取法,则有64+192=256种不同取法.故选B.]6.冬季供暖就要起先,现安排出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,那么安排的方案共有________种.150[5名水暖工去3个不同的居民小区,每名水暖工只去一个小区,且每个小区都要有人去检查,5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2,则安排的方案共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),2)+eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4),2)))·Aeq\o\al(3,3)=150(种).]7.[一题两空]某区有7条南北向街道,5条东西向街道,如图所示:(1)图中有________个矩形;(2)从A点走向B点最短的走法有________种.(1)210(2)210[(1)在7条南北向街道中任选2条,5条东西向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,5)=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法,无论怎样走,肯定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有Ceq\o\al(6,10)=Ceq\o\al(4,10)=210(种)走法.]命题点2二项式定理“一明、二抓、三通”解决二项式定理一明原理:需熟知二项式定理的原理及推导过程,对于一些非二项式绽开式中项的系数问题,均可转化为二项式定理问题求解.二抓通项:二项绽开式(a+b)n的通项公式Tr+1=Ceq\o\al(r,n)·an-rbr为第r+1项,利用它可求绽开式中的特定项.三通性质:二项式系数与二项绽开式中项的系数不同,前者指的是Ceq\o\al(r,n),而后者指的是除字母外的系数,二项绽开式中项的系数问题常用赋值法求解.[高考题型全通关]1.(2024·东莞市模拟)已知a>0,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,x)))eq\s\up12(5)的绽开式中x的系数是160,那么a=()A.16 B.8C.4 D.2C[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,x)))eq\s\up12(5)的绽开式通项为Tk+1=Ceq\o\al(k,5)x5-k(ax-1)k=akCeq\o\al(k,5)x5-2k(k=0,1,2,3,4,5),令5-2k=1,得k=2,所以由已知得a2Ceq\o\al(2,5)=10a2=160,所以a2=16,又a>0,所以a=4.故选C.]2.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x4-\f(1,x\r(x))))eq\s\up12(n)的绽开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.8B.10C.11D.12C[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x4-\f(1,x\r(x))))eq\s\up12(n)的绽开式的通项Tr+1=Ceq\o\al(r,n)(x4)n-r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-eq\f(1,x\r(x))))eq\s\up12(r)=(-1)rCeq\o\al(r,n)xeq\s\up12(4n-eq\f(11,2)r),当4n-eq\f(11,2)r=0,即n=eq\f(11,8)r时绽开式中存在常数项,所以n的最小值为11,故选C.]3.已知(1+x)n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212 B.211C.210 D.29D[因为(1+x)n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Ceq\o\al(3,n)=Ceq\o\al(7,n),解得n=10.从而Ceq\o\al(0,10)+Ceq\o\al(1,10)+Ceq\o\al(2,10)+…+Ceq\o\al(10,10)=210,所以奇数项的二项式系数和为Ceq\o\al(0,10)+Ceq\o\al(2,10)+…+Ceq\o\al(10,10)=29.]4.若(1-3x)2020=a0+a1x+…+a2020x2020,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2020·32020的值为()A.22020-1 B.-82020-1C.22020 D.82020-1D[由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2020·32020=(1-9)2020=82020,所以a1·3+a2·32+…+a2020·32020=82020-a0=82020-1,故选D.]5.(2024·全国卷Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(y2,x)))(x+y)5的绽开式中x3y3的系数为()A.5 B.10C.15 D.20C[因为(x+y)5的绽开式的第r+1项Tr+1=Ceq\o\al(r,5)x5-ryr,所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(y2,x)))(x+y)5的绽开式中x3y3的系数为Ceq\o\al(3,5)+Ceq\o\al(1,5)=15.故选C.]6.(2024·昆明模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\r(x)+\f(1,x)))eq\s\up12(4)的绽开式中,常数项为()A.1 B.3C.4 D.13D[由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\r(x)+\f(1,x)))eq\s\up12(4)表示4个因式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\r(x)+eq\f(1,x)+1))的乘积,故绽开式中的常数项可能有以下几种状况:①全部的因式都取1;②有2个因式取eq\r(x),一个因式取1,一个因式取eq\f(1,x).故绽开式中的常数项为1+Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,2)=13,故选D.]7.设(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a1等于________.-240[∵(x2-3x+2)5=(x-1)5(x-2)5,∴二项绽开式中含x项的系数为Ceq\o\al(4,5)×(-1)4×Ceq\o\al(5,5)×(-2)5+Ceq\o\al(5,5)×(-1)5×Ceq\o\al(4,5)×(-2)4=-160-80=-240.]8.[一题两空]在二项式

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