统考版2024高考数学二轮复习板块1命题区间精讲精讲5排列组合与二项式定理学案含解析理

PAGE1-排列、组合与二项式定理命题点1排列、组合的应用1．求解有限制条件排列问题的5种主要方法(1)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法；(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时留意捆绑元素的内部排列；(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中；(4)除法：对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以已定元素的全排列；(5)干脆法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事务分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数；②分步法：选定一个适当的标准，将事务分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．2．求解排列、组合问题的3个易错点(1)分类标准不明确，有重复或遗漏；(2)混淆排列问题与组合问题；(3)解决捆绑问题时，遗忘“松绑”后的全排列．[高考题型全通关]1．五名同学相约去国家博物馆参观大型展览，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有()A．36种B．48种C．72种D．120种C[除甲、乙二人外，其他3个同学先排成一排，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种，这3个同学排好后，留下4个空位，排甲、乙，共有Aeq\o\al(2,4)＝12种，所以，不同排法有6×12＝72种，故选C．]2．(2024·长治一模)2024年北京冬季奥运会将在北京和张家口实行，现预备支配甲、乙、丙、丁四人参与3个志愿服务项目，每人只参与一个志愿服务项目，每个项目都有人参与，则不同的支配方案有()A．24 B．36C．48 D．72B[先把4人分成3组，然后把3组全排列有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36种．故选B．]3．中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，现甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选了一本不同的书作为课外爱好研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学全部可能的选择有()A．18种 B．24种C．36种 D．54种D[若甲选《春秋》，则有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18种状况；若甲不选《春秋》，则有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36种状况．所以5名同学全部可能的选择有18＋36＝54种．]4．用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A．18 B．16C．12 D．9D[若把两个1看作不同的数，先支配0有3种状况，支配第2个数有3种状况，支配第3个数有2种状况，支配第4个数有1种状况，一共有3×3×2×1＝18种状况，由于有两个1，所以其中一半重复，故有9个四位数．]5．(2024·德阳模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片各是一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为()A．472 B．256C．232 D．484B[依据题意，分2种状况探讨：①取出的3张卡片中没有红色，则其他三种颜色各取一张，有4×4×4＝64种取法；②取出的3张卡片有1张红色，须要在其他三种颜色任选2种，有Ceq\o\al(2,3)×4×4×4＝192种取法，则有64＋192＝256种不同取法．故选B．]6．冬季供暖就要起先，现安排出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么安排的方案共有________种．150[5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则安排的方案共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),2)＋eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4),2)))·Aeq\o\al(3,3)＝150(种)．]7．[一题两空]某区有7条南北向街道，5条东西向街道，如图所示：(1)图中有________个矩形；(2)从A点走向B点最短的走法有________种．(1)210(2)210[(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,5)＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，肯定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有Ceq\o\al(6,10)＝Ceq\o\al(4,10)＝210(种)走法．]命题点2二项式定理“一明、二抓、三通”解决二项式定理一明原理：需熟知二项式定理的原理及推导过程，对于一些非二项式绽开式中项的系数问题，均可转化为二项式定理问题求解．二抓通项：二项绽开式(a＋b)n的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)·an－rbr为第r＋1项，利用它可求绽开式中的特定项．三通性质：二项式系数与二项绽开式中项的系数不同，前者指的是Ceq\o\al(r,n)，而后者指的是除字母外的系数，二项绽开式中项的系数问题常用赋值法求解．[高考题型全通关]1．(2024·东莞市模拟)已知a＞0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\s\up12(5)的绽开式中x的系数是160，那么a＝()A．16 B．8C．4 D．2C[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\s\up12(5)的绽开式通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－k(ax－1)k＝akCeq\o\al(k,5)x5－2k(k＝0,1,2,3,4,5)，令5－2k＝1，得k＝2，所以由已知得a2Ceq\o\al(2,5)＝10a2＝160，所以a2＝16，又a＞0，所以a＝4.故选C．]2．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x4－\f(1,x\r(x))))eq\s\up12(n)的绽开式中含有常数项，则n的最小值等于()A．8B．10C．11D．12C[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x4－\f(1,x\r(x))))eq\s\up12(n)的绽开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(x4)n－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(1,x\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－1)rCeq\o\al(r,n)xeq\s\up12(4n－eq\f(11,2)r)，当4n－eq\f(11,2)r＝0，即n＝eq\f(11,8)r时绽开式中存在常数项，所以n的最小值为11，故选C．]3．已知(1＋x)n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212 B．211C．210 D．29D[因为(1＋x)n的绽开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，解得n＝10.从而Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210，所以奇数项的二项式系数和为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝29.]4．若(1－3x)2020＝a0＋a1x＋…＋a2020x2020，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2020·32020的值为()A．22020－1 B．－82020－1C．22020 D．82020－1D[由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2020·32020＝(1－9)2020＝82020，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2020·32020＝82020－a0＝82020－1，故选D．]5．(2024·全国卷Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的绽开式中x3y3的系数为()A．5 B．10C．15 D．20C[因为(x＋y)5的绽开式的第r＋1项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－ryr，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y2,x)))(x＋y)5的绽开式中x3y3的系数为Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,5)＝15.故选C．]6．(2024·昆明模拟)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(4)的绽开式中，常数项为()A．1 B．3C．4 D．13D[由于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(x)＋\f(1,x)))eq\s\up12(4)表示4个因式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\r(x)＋eq\f(1,x)＋1))的乘积，故绽开式中的常数项可能有以下几种状况：①全部的因式都取1；②有2个因式取eq\r(x)，一个因式取1，一个因式取eq\f(1,x).故绽开式中的常数项为1＋Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,2)＝13，故选D．]7．设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于________．－240[∵(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，∴二项绽开式中含x项的系数为Ceq\o\al(4,5)×(－1)4×Ceq\o\al(5,5)×(－2)5＋Ceq\o\al(5,5)×(－1)5×Ceq\o\al(4,5)×(－2)4＝－160－80＝－240.]8．[一题两空]在二项式