【八年级下册】直角三角形【同步练习卷】（含答案）

直角三角形姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（涿州市期中）下列说法中错误的是（）A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠CD．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形2．（铜梁区校级期中）下列说法不正确的是（）A．等边三角形是等腰三角形 B．所有的等腰三角形都是锐角三角形 C．所有的等边三角形都是锐角三角形 D．直角三角形两锐角的和是个定值3．（交城县期中）已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．30°4．（萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（永吉县期中）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等6．（舞钢市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．127．（肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm8．（朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．69．（天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个10．（连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2−12x B．3−14x C．1+二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（宽城区期末）命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）12．（长宁区期末）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是．13．（临沭县期中）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．14．（金乡县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）15．（北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．16．（勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．17．（西峰区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝．18．（如皋市一模）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（农安县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若CD＝2，求DF的长．20．（洮北区期末）如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．21．（宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．22．（扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？23．（池州校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°．现给出以下3个关系：①CD垂直于AB，②BE平分∠ABC，③∠CFE＝∠CEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．24．（丰台区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．直角三角形姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（涿州市期中）下列说法中错误的是（）A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠CD．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．C、在△ABC中，因为∠A=12∠B=13∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D．2．（铜梁区校级期中）下列说法不正确的是（）A．等边三角形是等腰三角形 B．所有的等腰三角形都是锐角三角形 C．所有的等边三角形都是锐角三角形 D．直角三角形两锐角的和是个定值【分析】利用等边三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质进行分析即可．【解析】A、等边三角形是等腰三角形，故原题说法正确；B、所有的等腰三角形不一定都是锐角三角形，故原题说法错误；C、所有的等边三角形都是锐角三角形，故原题说法正确；D、直角三角形两锐角的和是个定值90°，故原题说法正确；故选：B．3．（交城县期中）已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．30°【分析】利用直角三角形的性质进行解答即可．【解析】∵直角三角形ABC中，有一个锐角等于50°，∴另一个锐角的度数是：90°﹣50°＝40°，故选：C．4．（萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．【解析】①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180，解得：x＝18°，∴∠5＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠∴∠A＝（108011∴△ABC为钝角三角形．∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，故选：C．5．（永吉县期中）下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．【解析】A、根据SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；B、根据AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；C、根据HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；故选：D．6．（舞钢市期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB的中点，E是BC的中点，EF⊥CD于点F，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．12【分析】根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出BD＝DC＝AD＝5，利用三角形面积公式解答即可．【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A∵D是AB的中点，∴线段CD是中线，∴AD＝BD＝CD＝5，△BDC=12S△ABC如图，连接DE，∵E为BC边的中点，∴S△DEC=12S△∵S△DEC=12DC•∴12×5解得：EF=12故选：D．7．（肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解析】∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC=12AE＝3（故选：D．8．（朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．【解析】∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．9．（天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解析】如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．10．（连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2−12x B．3−14x C．1+【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD=12PB，CE=∵PA＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD=12PB＝2−∴CD＝4﹣（2−12x）＝2+∴CE＝1+14∴AE＝4﹣（1+14x）＝3−故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（宽城区期末）命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是真命题．（填“真”或“假”）【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．【解析】命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，是真命题，故答案为：真．12．（长宁区期末）命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形．【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可的出原命题的逆命题．【解析】命题“全等三角形对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，故答案为：对应角相等的三角形是全等三角形13．（临沭县期中）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，AB∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件AB＝DF（答案不唯一），使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【分析】根据全等三角形的判定定理证明即可证得结论．【解析】添加的条件是：AB＝DF，证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，∴∠ACB＝∠DEF＝90°，∵AB∥DF，∴∠ABC＝∠DFE，∴添加AB＝DF，在Rt△ABC和Rt△DFE中，∠ACB=∠DEF∠ABC=∠DFE∴Rt△ABC≌Rt△DFE（AAS），故答案为：AB＝DF（答案不唯一）．14．（金乡县期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是AB＝DC（答案不唯一）．（不添加字母和辅助线）【分析】根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．【解析】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．故答案为：AB＝DC（答案不唯一）15．（北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝90°．【分析】易证得Rt△AEC≌Rt△DAB，即可证得∠ACE＝∠ABD，进而证得∠EAC+∠ABD＝90°，得到∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，即可证得∠ACD+∠BDC＝90°．【解析】在Rt△AEC和Rt△DAB中AE=ADAC=BD∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠ABD＝90°，∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，∴∠ACD+∠BDC＝90°，故答案为90．16．（勃利县期末）如图，AB⊥BC、DC⊥BC，垂足分别为B、C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝2时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【分析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC＝8可得CP＝6，进而可得AB＝CP，BP＝CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B＝∠C＝90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．【解析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中AB=PC=6∠B=∠C=90°∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案为：2．17．（西峰区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CD＝2，则BC＝6．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝2，根据直角三角形的性质得到BD＝2DE＝4，结合图形计算即可．【解析】作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝2，∵DE⊥AB，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝4，∴BC＝CD+BD＝6，故答案为：6．18．（如皋市一模）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝5．【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．【解析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60°=ODOP=∴OD＝6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND=12∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（农安县期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若CD＝2，求DF的长．【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到CE＝CF；（2）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．【解析】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝2．又∵CE＝CF，∴CF＝2．∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．20．（洮北区期末）如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．【分析】根据三角形的外角的性质求出∠ACB，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．【解析】∵∠CBD为△ABC的外角，∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，AB＝15×（9.5﹣8）＝22.5，∴AB＝BC＝22.5，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，∴BD=12∴从B到D用的时间为11.25÷15=3则当船继续航行，10时15分到达灯塔C在正东方向．21．（宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．【分析】（1）利用三角形内角和定理，角平分线的定义可得结论；（2）利用等腰三角形的判断和线段中垂线的性质可得答案．【解析】证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，又∵∠CAB＝2∠B，∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝30°；（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，∴AD＝DB，∵AC＝EC，∠ACB＝90°，∴AD＝DE，∴DE＝DB．22．（扶沟县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．【解析】根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与