山东专用2025版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六讲指数与指数函数学案含解析

PAGE12-第六讲指数与指数函数ZHISHISHULISHUANGJIZICE学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一指数与指数运算1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注假如xn＝a，那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数eq\r(n,a)零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数±eq\r(n,a)负数没有偶次方根(2)两个重要公式①eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0，))n为偶数.))②(eq\r(n,a))n＝a(留意a必需使eq\r(n,a)有意义)．2．分数指数幂(1)正数的正分数指数幂是aeq\s\up7(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(2)正数的负分数指数幂是a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．3．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．学问点二指数函数图象与性质指数函数的概念、图象和性质定义函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数底数a>10<a<1图象性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)1．画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时留意两个关键点：(1，a)，(0,1)．2．底数a的大小确定了图象相对位置的凹凸，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．3．f(x)＝ax与g(x)＝(eq\f(1,a))x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是(ABCD)A．eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*)B．a－eq\s\up7(\f(m,n))＝－aeq\s\up7(\f(m,n))(n，m∈N*)C．函数y＝3·2x，与y＝22x都不是指数函数D．若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n[解析]对于A，n为奇数时正确，n为偶数时不肯定正确；对于B，不正确，a－eq\s\up7(\f(m,n))＝eq\f(1,a\f(m,n))；对于C，y＝22x＝4x是指数函数；对于D，当a>1时m<n，当0<a<1时m>n.题组二走进教材2．(必修1P59AT2改编)设a>0，将eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂，其结果是(C)A．aeq\s\up7(\f(1,2)) B．aeq\s\up7(\f(5,6))C．aeq\s\up7(\f(7,6)) D．aeq\s\up7(\f(3,2))[解析]由题意得eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝a2eq\s\up7(－\f(1,2))eq\s\up7(－\f(1,3))＝aeq\s\up7(\f(7,6))，故选C．3．(必修1P60BT2改编)已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(B)A．5 B．7C．9 D．11[解析]f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝[f(a)]2－2＝7.故选B．4．(必修1P82AT10改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P(2，eq\f(1,2))，则f(－1)＝eq\r(2).[解析]a2＝eq\f(1,2)，∴a＝eq\f(\r(2),2)，f(－1)＝(eq\f(\r(2),2))－1＝eq\r(2).

题组三考题再现5．(2024·北京，5分)已知函数f(x)＝3x－(eq\f(1,3))x，则f(x)(A)A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数[解析]因为f(x)＝3x－(eq\f(1,3))x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－(eq\f(1,3))－x＝(eq\f(1,3))x－3x＝－[3x－(eq\f(1,3))x]＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝(eq\f(1,3))x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－(eq\f(1,3))x在R上是增函数，故选A．6．(2024·全国卷Ⅲ)已知a＝2eq\s\up7(\f(4,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，则(A)A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b[解析]因为a＝2eq\s\up7(\f(4,3))＝16eq\s\up7(\f(1,3))，b＝4eq\s\up7(\f(2,5))＝16eq\s\up7(\f(1,5))，c＝25eq\s\up7(\f(1,3))，且幂函数y＝xeq\s\up7(\f(1,3))在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考点突破·互动探究考点一指数与指数运算——自主练透例1(1)(多选题)下列命题中不正确的是(ACD)A．eq\r(n,an)＝aB．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1C．eq\r(3,x4＋y3)＝xeq\f(4,3)·yD．eq\r(3,－5)＝eq\r(6,－52)(2)(－eq\f(27,8))eq\s\up7(－\f(2,3))＋(0.002)eq\s\up7(－\f(1,2))－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0＝－eq\f(167,9).(3)化简：(eq\f(1,4))eq\s\up7(－\f(1,2))·eq\f(\r(4ab－1)3,\f(1,10)－1·a3·b－3\s\up7(\f(1,2)))＝eq\f(8,5).(4)已知aeq\s\up7(\f(1,2))＋aeq\s\up7(－\f(1,2))＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1).[解析](1)若n是奇数，则eq\r(n,an)＝a；若n是偶数，则eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))所以A错误；因为a2－a＋1恒不为0，所以(a2－a＋1)0有意义且等于1，所以B正确；eq\r(3,x4＋y3)不能化简为xeq\s\up7(\f(4,3))·y，所以C错误；因为eq\r(3,－5)<0，eq\r(6,－52)>0，所以eq\r(3,－5)≠eq\r(6,－52)，所以D错误．故选A、C、D．(2)原式＝(－eq\f(27,8))eq\s\up7(－\f(2,3))＋(eq\f(1,500))eq\s\up7(－\f(1,2))－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝(－eq\f(8,27))eq\s\up7(\f(2,3))＋500eq\s\up7(\f(1,2))－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).故填－eq\f(167,9).(3)原式＝2×eq\f(23·a\s\up7(\f(3,2))·b\s\up7(－\f(3,2)),10·a\s\up7(\f(3,2))·b\s\up7(－\f(3,2))))＝21＋3×10－1＝eq\f(8,5).故填eq\f(8,5).(4)①将aeq\s\up7(\f(1,2))＋aeq\s\up7(－\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.②将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.③由①②可得eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.名师点拨☞指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．考点二指数函数图象与性质考向1指数函数的图象及应用——师生共研例2(1)(2024·秦皇岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为(A)(2)(2024·湖北黄冈质检)函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式肯定成立的是(D)A．ba>0 B．a＋b>0C．ab>1 D．loga2>b(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是[－1,1].[分析](1)将函数化为f(x)＝2×(eq\f(1,2))x的形式，依据函数的性质及过定点，并结合选项推断；(2)由图确定a、b的范围求解；(3)分别在同始终角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．[解析](1)解法一：函数f(x)＝21－x＝2×(eq\f(1,2))x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求．解法二：(采纳平移法)因为函数f(x)＝21－x＝2－(x－1)，所以先画出函数y＝2－x的图象，再将y＝2－x图象的全部点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A符合．(2)由图可知，y＝ax单调递增，则a>1；y＝xb单调递减，则b<0，A：ba>0不肯定成立，如a＝3，b＝－1；B：a＋b>0不肯定成立，如a＝2，b＝－3；C：ab>1不成立，ab<0时；故选D．(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，假如|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满意的条件是b∈[－1,1]．[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的图象过定点(1,4).(2)若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，b的取值范围是(0,1).(3)若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是(－∞，0).[解析](1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1,4)．(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，假如曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．(3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．名师点拨☞指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，eq\f(1,a))．由函数解析式推断其图象一般取特殊点验证，从而作出推断．(2)与指数函数有关的函数的图象的探讨，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．〔变式训练1〕(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(D)A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)(多选题)已知实数a，b满意等式(eq\f(1,2))a＝(eq\f(1,3))b，下列关系式中不行能成立的是(CD)A．0<b<a B．a<b<0C．0<a<b D．b<a<0(3)若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，求m的取值范围．[解析](1)由f(x)＝ax－b的图象可以视察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.故选D．(2)在同一坐标系内，作出函数y＝(eq\f(1,2))x和y＝(eq\f(1,3))x的图象(如图)．如图：a>b>0时，(eq\f(1,2))a＝(eq\f(1,3))b可能成立．a<b<0时，(eq\f(1,2))a＝(eq\f(1,3))b可能成立．0<a<b时，明显(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,3))b.b<a<0时，明显(eq\f(1,2))a<(eq\f(1,3))b.综上可知：A、B可能成立，C、D不行能成立．故选C、D．(3)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m>0.考向2指数函数的性质及其应用——多维探究角度1比较指数幂的大小例3(1)设a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(C)A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a[解析]∵函数y＝0.8x在R上是减函数，1>0.9>0.7>0，∴1＝0.80>0.80.7>0.80.9>0.81，即1>a>b.∵函数y＝1.2x在R上是增函数，0.8>0，∴1.20.8>1.20>1，即c>1.综上，c>a>b.故选C．角度2利用指数函数的性质求解简洁指数方程、不等式例4(2024·珠海模拟)若xlog52≥－1，则函数y＝4x－2x＋1－3的最小值为(A)A．－4 B．－3C．－1 D．0[解析]由xlog52≥－1得log52x≥log5eq\f(1,5)，即2x≥eq\f(1,5)，令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，因为t≥eq\f(1,5)，所以当t＝1，即x＝0时，函数取得最小值为－4.故选A．角度3与指数函数有关的复合函数问题例5若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满意f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是(B)A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]由f(1)＝eq\f(1,9)得a2＝eq\f(1,9)，又a>0，所以a＝eq\f(1,3)，因此f(x)＝(eq\f(1,3))|2x－4|.∵y＝(eq\f(1,3))t为减函数，∴f(x)的减区间为t＝|2x－4|的递增区间[2，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．名师点拨☞(1)简洁的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特殊留意底数a的取值范围，并在必要时进行分类探讨．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析推断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．(3)解指数方程的方法①同底法：把方程化为af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．②化为ax＝b，利用对数定义求解x＝logab.③把方程化为f(ax)＝0的情形，然后换元，即设ax＝t，然后解方程f(t)＝0，留意只要t>0的解．(4)解指数不等式的方法同底法：把方程化为af(x)>ag(x)的情形，依据函数单调性建立f(x)和g(x)的不等式．〔变式训练2〕(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是(D)A．1.72.5<1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1<1.250.2 D．1.70.3<0.93.1(2)(角度2)(2024·衡阳模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(C)A．(－2,1) B．(－4,3)C．(－1,2) D．(－3,4)(3)(角度3)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是(－∞，4].[解析](1)对于A、B明显正确；对于C,0.8－0.1＝1.250.1，明显正确；对于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D不正确，故选D．(2)原不等式变形为m2－m<(eq\f(1,2))x，∵函数y＝(eq\f(1,2))x在(－∞，－1]上是减函数，∴(eq\f(1,2))x≥(eq\f(1,2))－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<(eq\f(1,2))x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.故选C．(3)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[eq\f(m,2)，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，eq\f(m,2)]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名师讲坛·素养提升指数函数中的分类与整合思想例6已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间[－eq\f(3,2)，0]上有最大值3和最小值eq\f(5,2)，试求a，b的值．[分析]本题易出现的错误有两个，一个是二次函数t＝x2＋2x在区间[－eq\f(3,2)，0]上的范围求错，干脆将端点值代入，二是不分类探讨，干脆认为f(x)是单调递增函数．[解析]设t＝x2＋2x，x∈[－eq\f(3,2)，0]，由图象得t∈[－1,0]．①当a>1时，f(t)＝at＋b在[－1,0]上为增函数，值域为[eq\f(1,a