分数乘除法应用题入门12

分数乘除法应用题入门（12）量不变法——抓住不变量有些分数（倍比关系）应用题，由于某些数量的变化，引起数量之间的倍数（比率）也发生变化，解题时，我们可在变化的数量中寻找不变的数量作为突破口，从而找到数量变化和比率变化的关系，这种以静制动、以不变应万变的解题方法叫做量不变法。此专题重点讨论以下三种情形：部分量不变、和不变、差不变；暂不涉及商不变、积不变问题。部分量不变例1：某班女生人数是男生的，后来转走2名男生，这时男生人数是女生的1倍，女生有多少人？解法1：【分析与解】根据题意，男生人数、学生总人数都发生变化，但女生人数不变，可以确定女生人数为单位“1”。∵女生人数是男生的，∴原来男生人数是女生的4÷3＝转走2名男生后,现在男生人数是女生的1倍，男生人数是女生的变为1，2名男生相当于女生人数的（－1）,求单位“1”（1倍数）女生人数用除法。根据:少的量(2名男生)÷少的比率=单位“1”的量(女2÷（－1）＝2÷=2×=15（人）答：女生有15人。反思：把不变量视为单位“1”，找出数量差与对应的比率差，用除法求单位“1”的量。公式：单位“1”(1倍)的量=数量差÷比率差解法2：【分析与解】把分数转化成比，把比当份数，也不失为是一种好的解题方法。在把分数转化成比的时候，一定要注意统一比的前后项。∵女生人数是男生的，转走2名男生后，这时男生人数是女生的1倍∴原来男生人数：女生人数=4：3现在男生人数：女生人数=1=6：5“转走2名男生”，女生人数是不变的，可为什么原来女生是3份而现在是5份呢？那是因为原来和现在分配的时候女生每份的人数不一样了，所以我们要把女生每份的人数变成一样的，由此，我们可列出一个比例式：原来男生人数：女生人数=4：3=（4×5）：（3×5）=20：15现在男生人数：女生人数=6：5=（6×3）：（5×3）=18：15现在，女生人数每份的人数一样了，男生从原来的20份变成了18份，少了2份，就是因为男生转走了2人。用2÷（20－18）=1（人），求出一份的人数，一份有1人，所以女生人数就为：1×15=15（人）。答：（略）解法3：∵女生人数是男生的，∴设男生原有4K人，则女生为3K人；则（4K－2）：3K＝1=6:55（4K－2）＝3K×6K＝5∴女生有3K＝15（人）答：（略）反思：请比较上述不同的解题方法，并理解掌握其中一种解题方法。例2：某学校六年级上学期有54名学生，男生占学生总人数的5/18，本学期转进一些男生后，男生占学生总人数的2/5，问转进多少男生？【分析与解】根据题意，男生人数、学生总人数都发生变化，但女生人数不变，所以把女生人数视为单位“1”。∵本学期女生人数=上学期女生人数（等量关系是本质）∴本学期总人数×（1-2/5）=上学期总人数54人×（1-5/18）（搭桥过渡可求本学期总人数）∴54×（１－5/18）÷（１－2/5）=65（人）………………本学期总人数本学期总人数-上学期总人数=本学期转进男生人数即：65－54=11（人）。答：（略）反思：抓住不变量“搭桥”过渡解答问题。（想一想：还有其它解法吗？）和不变例3：甲乙两人在银行都有存款，其中乙的存款数是甲的3/5，若甲从中取出1200元存入乙的银行账户，这时乙的存款数是甲的2/3，问甲原来存款多少元？解法1：【分析与解】根据题意，甲乙两人的存款数都发生变化，但甲乙存款数的总和不变，可以把甲乙存款总和视为单位“1”。已知其中乙的存款数是甲的3/5，则乙的存款数是甲乙存款总和的3/（5+3）；甲取出1200元存入乙的银行账户后，乙的存款数是甲的2/3，则乙的存款数是甲乙存款总和的2/（3+2）。乙增加1200元存款，乙的存款数就由甲乙存款总和的3/8增加到2/5；即乙增加1200元存款，就实际增加甲乙存款总和的（2/5－3/8），求单位“1”甲乙存款总和，用除法。根据:增加的量÷增加的比率=单位“1”的量(甲乙存款总和1200÷（2/5－3/8）=1200×40=48000（元）∵乙的存款数是甲的3/5，∴甲原来存款数占甲乙存款总和的5/（5+3）48000×5/8=30000（元）综合算式：1200÷（－）×=1200÷×5/8=1200×40×5/8=30000（元）答：甲原来存款30000元。解法2：【分析与解】根据题意，甲乙两人的存款数都发生变化，但是甲乙两人存款总和是不变的，那么我们就可以利用这一不变量来解题，原来甲、乙一共有8份，现在一共有5份，再把每份的钱数变成一样的。原来甲的钱数：乙的钱数=5：3=（5×5）：（3×5）=25：15现在甲的钱数：乙的钱数=3：2=（3×8）：（2×8）=24：16甲取出1200元存入乙的银行账户后，甲少了1200元，也就少了25－24=1（份），也可以利用乙来做：乙多了1200元，就多了16－15=1（份）。这一份就是1200（1200÷1）元。求甲原有多少元便用1200×25=30000（元）。答：（略）解法3：∵乙的存款数是甲的3/5，∴设甲原有存款5K元，乙为3K元；甲取出1200元存入乙的银行账户后，乙的存款数是甲的2/3则：（5K－1200）：（3K＋1200）＝3:22（5K－1200）＝3（3K＋1200）K＝6000故甲原有存款数5K＝30000（元）答：（略）解法4：∵乙的存款数是甲的3/5，∴设甲原有存款5K元，乙为3K元；甲取出1200元存入乙的银行账户后，乙的存款数是甲的2/3，则乙的存款数是甲乙存款总和的2/（3+2）则：（5K－1200）：（5K＋3K）＝3:（3＋2）5（5K－1200）＝8K×3K＝6000故甲原有存款数5K＝30000（元）答：（略）反思：一题多解旨在开阔思路，活跃思维。请比较上述不同的解题方法，并理解掌握其中一种解题方法。例4：某工厂第一车间的人数是第二车间的2/3

，如果从第一车间调10人到第二车间，那么第一车间的人数是第二车间的3/5，第一、二车间原来各有多少人？【分析与解】根据题意，两个车间的人数在变化，但两个车间的总人数不变，可以把两车间总人数视为单位"1"。由“第一车间的人数是第二车间的2/3”可得：原来第一车间人数是两车间总人数的2/（3+2）

；由“第一车间的人数是第二车间的3/5”可得：现在第一车间人数是两车间总人数的3/（5+3）。∴第一车间减少的10人占两车间总人数的（2/5

-3/8），求单位“1”两车间总人数用除法。根据:减少的量÷减少的比率=单位“1”的量(两车间总人数10÷1/40=400（人）第一车间的人数：400×2/5=160（人）

第二车间人数：400-160=240（人）答：第一、二车间原来各有160人和240人。（想一想：还有其它解法吗？）差不变例5：小明5岁的时候，爸爸31岁，等小明长大考上大学的时候，小明的年龄是爸爸年龄的9/22，问小明考上大学的时候爸爸几岁？【分析与解】根据“小明的年龄是爸爸年龄的9/22”，把爸爸的年龄视为单位“1”。小明在长大，爸爸在变老，唯一不变的，是两个人的年龄差。爸爸和小明永远相差26岁，相差26岁相当于单位“1”的（1-9/22），求单位“1”爸爸的年龄，用除法。根据单位“1”的量=多的量÷多的率26÷（1-9/22）=26×22/13=44（岁）答：小明考上大学的时候爸爸44岁。反思：差不变问题，关键是找出数量差和与之对应的比率差，用除法求单位“1”的量。公式：单位“1”的量=数量差÷比率差（想一想：还有其它解法吗？）例6．培英小学六年级有两个班，六年一班有学生48人，六年二班有学生56人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？【分析与解】两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，所以把转出后的六年一班人数视为单位“1”。∵两个班各转出的人数相同，∴转出前后两个班的人数都发生了变化，但两班人数的差始终不变，即两班人数相差56－48＝8（人）。也就是说，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数比六年一班人数多2/11，实际多了8人，因此，求单位“1”转出后六年一班人数用除法。根据单位“1”的量=多的量÷多的率转出后六年一班人数:8÷2／11＝44（人）转出人数:48－44＝4（人）答：两个班各转出4人。思考题：（1）有两种糖放在一起，其中软糖占，再放入16块硬糖以后，软糖占两种糖总和的，求软糖有多少块？（2）有科技书和文艺书共360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。又买来多少本科技书？（3）将的分子和分母减去同一个数，新的分数约分后为。分子和分母同时减去几？（4）建筑工地有两堆砖，一共有2000块，其中第二堆占，第一次只用了第一堆砖的一部分，第一次用后第一堆砖占总块数的。第一次用了多少块砖？（5）班级图书角的文艺书是科普书的，又买来21本科普书，这时文艺书的本数是科普书的。图书角里现在有科普书多少本？（6）乙队原有的人数是甲队的。现在甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的。甲队原来有多少人？乙队原来有多少人？（7）弟弟的钱数是姐姐的。姐姐和弟弟都买了一个40元的机器猫后，这时弟弟的钱数是姐姐的。姐姐原来有钱多少元？弟弟原来有钱多少元？（8）在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？（9）小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数的，后来他又读了20页，这时已读的页数是剩下页数的，这本课外读物共有多少页？（10）兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的，老二出的钱是其他两人出钱总数的，老三比老二多出400元。问这台彩电多少钱？（11）甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？（12）甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？（13）某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人?（14）煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户?（15）甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱?（16）小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?（17）有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃烧掉同样长的部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下长度的3/5，每段燃烧掉了多少厘米？（18）A、B两种商品价格比为7：3，如果他们的价格分别上涨70元，他们的价格比为7：4，原来A、B的价格各是多少？解法1：【分析与解】这道题要抓住一个关键：A、B两种商品价格分别上涨70元，那么差是不变的，原来的差是7－3=4（份），现在的差是7－4=3（份），那么可以把每份的价格变为一样的，3和4的最小公倍数为12，把他们差的份数变成12份，比例式如下：原来A的价格：B的价格=（7×3）：（3×3）=21：9现在A的价格：B的价格=（7×4）：（4×4）=28：16从上面的方程式中我们可看出A的价格增加了28－21=7（份），之所以增加了7份是因为它的价格上涨了70元，所以用70÷7=10（元），一份就为10元，当然了，这道题也可用B的价格来做，B的价格份数多了16－9=7（份），也就是上涨的70元，求出一份为70÷7=10（元），那