【名师一号】2022届高三数学一轮总复习基础练习：第七章-立体几何7-2-

其次节空间几何体的表面积和体积时间：45分钟分值：100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()A．48(3＋eq\r(3)) B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2)) D．144解析S底＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，S侧＝6×4×6＝144，∴S全＝S侧＋2S底＝144＋48eq\r(3)＝48(3＋eq\r(3))．答案A2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．3解析设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.答案A3．(2022·辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)解析该几何体由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱所得．所以其体积为V＝23－2×eq\f(1,4)π·12×2＝8－π，故选B.答案B4．(2022·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1 B．2C．3 D．4解析由三视图知该石材表示的几何体是一个直三棱柱，该直三棱柱的底面是两直角边长分别为6和8的直角三角形，其高为12.要得到最大球，则球与三个侧面相切，从而球的半径应等于底面直角三角形的内切圆的半径，故半径r＝eq\f(2S,6＋8＋10)＝2，其中S为底面直角三角形的面积．故选B.答案B5．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球OA.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)解析如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).答案C6．已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是()A.eq\f(7π,4) B．2πC.eq\f(9π,4) D．3π解析由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为eq\r(22－12)＝eq\r(3)，则AB＝3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝eq\f(9π,4)，选C.答案C二、填空题7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析易知原几何体是底面半径为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积V＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×(π×12)×2＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)8．(2022·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．解析设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1，h1，r2，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，eq\f(h1,h2)＝eq\f(r2,r1).又eq\f(S1,S2)＝eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2)，则eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r\o\al(2,1),r\o\al(2,2))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)9．(2022·山东卷)三棱锥P—ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D—ABE的体积为V1，P—ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.解析如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝eq\f(1,3)S1h1，V2＝eq\f(1,3)S2h2，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(S1h1,S2h2)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)三、解答题10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq\r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1CS＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).11．(2022·福建卷)如图，三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A—MBC的体积．解方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq\f(1,2).∵M是AD的中点，∴S△ABM＝eq\f(1,2)S△ABD＝eq\f(1,4).由(1)知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C—ABM的高h＝CD＝1，因此三棱锥A—MBC的体积VA—MBC＝VC—ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·h＝eq\f(1,12).方法二：(1)同方法一．(2)由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝eq\f(1,2).∴三棱锥A—MBC的体积VA—MBC＝VA—BCD－VM—BCD＝eq\f(1,3)AB·S△BCD－eq\f(1,3)MN·S△BCD＝eq\f(1,12).eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1．(2022·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年月在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.eq\f(22,7)B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50)D.eq\f(355,113)解析圆锥的体积V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))2×h×eq\f(1,3)≈eq\f(2,75)L2h，所以π≈eq\f(25,8).答案B2．如图，正方体ABCD—A1B1CD1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1—EDF解析三棱锥D1—EDF的体积即为三棱锥F—DD1E的体积．由于E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD—A1B1C1D1中△EDD1的面积为定值eq\f(1,2)，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VF—DD1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)3．如图，在三棱锥D—ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D—ABC的体积的最大值是________．解析由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，由于棱AD与棱BC相互垂直．设d为AD到BC的距离．则VD—ABC＝AD·BC×d×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝2d，当d最大时，VD—ABC体积最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，d有最大值eq\r(42－1)＝eq\r(15).此时V＝2eq\r(15).答案2eq\r(15)4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝eq\r(3)，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．解(1)连接OM，则OM⊥AB，设OM＝r，则OB＝eq\r(3)－r，在△BMO中，sin∠MBO＝eq\f(OM,OB)＝eq\f(r,\r(3)－r)＝eq\f(1,2)，∴r＝eq\f