【全程复习方略】2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第八章-第十节圆锥曲线的综合问题

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十九)一、选择题1.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=()(A)-2 (B)-QUOTE (C)-4 (D)-QUOTE2.(2021·郑州模拟)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()(A)[-QUOTE,QUOTE] (B)[-2,2](C)[-1,1] (D)[-4,4]3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为()(A)1 (B)QUOTE (C)2 (D)2QUOTE4.(2021·邢台模拟)若点O和点F分别为椭圆QUOTE+QUOTE=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则QUOTE·QUOTE的最大值为()(A)2 (B)3 (C)6 (D)85.(2021·汕头模拟)过双曲线=1(a>0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线离心率的取值范围为()(A)(QUOTE,5) (B)(QUOTE,QUOTE)(C)(1,QUOTE) (D)(5,5QUOTE)6.(力气挑战题)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()(A)QUOTE+2 (B)QUOTE+1 (C)QUOTE-2 (D)QUOTE-1二、填空题7.(2021·重庆模拟)过椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若QUOTE<k<QUOTE,则椭圆离心率的取值范围为.8.(2021·长春模拟)设连接双曲线QUOTE-QUOTE=1与QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其4个焦点的四边形面积为S2,则QUOTE的最大值为.9.过抛物线y2=2px(p>0)上确定点P(x0,y0)(y0>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,则QUOTE的值为.三、解答题10.(2021·深圳模拟)已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率为QUOTE,短轴的一个端点为M(0,1).直线l:y=kx-QUOTE与椭圆相交于不同的两点A,B.(1)若|AB|=QUOTE,求k的值.(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.11.(2021·银川模拟)直线l与椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,已知m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若m⊥n且椭圆的离心离e=QUOTE,又椭圆经过点(QUOTE,1),O为坐标原点.(1)求椭圆的方程.(2)试问:△AOB的面积是否为定值?假如是,请赐予证明;假如不是,请说明理由.12.(力气挑战题)已知椭圆x2+QUOTE=1的左、右两个顶点分别为A,B.曲线C是以A,B两点为顶点,离心率为QUOTE的双曲线.设点P在第一象限且在曲线C上,直线AP与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C的方程.(2)设P,T两点的横坐标分别为x1,x2,证明:x1·x2=1.(3)设△TAB与△POB(其中O为坐标原点)的面积分别为S1与S2,且QUOTE·QUOTE≤15,求QUOTE-QUOTE的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由y=2x2得x2=QUOTEy,其焦点坐标为F(0,QUOTE),取直线y=QUOTE,则其与y=2x2交于A(-QUOTE,QUOTE),B(QUOTE,QUOTE),∴x1x2=(-QUOTE)·(QUOTE)=-QUOTE.【方法技巧】与动直线相关值的求解技巧解决动直线与圆锥曲线相交的有关值的选择题、填空题,一般取其特殊位置探究其值即可.2.【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.综上-1≤k≤1.3.【解析】选D.设椭圆长半轴长为a,短半轴长为b,a2-b2=c2,由题意,QUOTE·2c·b=1,∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.∴a≥QUOTE.∴长轴的最小值为2QUOTE.4.【解析】选C,设P(x0,y0),则QUOTE+QUOTE=1即QUOTE=3-QUOTE,又∵F(-1,0),∴QUOTE·QUOTE=x0·(x0+1)+QUOTE=QUOTE+x0+3=QUOTE(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴(QUOTE·QUOTE)∈[2,6],所以(QUOTE·QUOTE)max=6.5.【思路点拨】结合图象探究e满足的关系即可.【解析】选B.由题意结合双曲线的图象可知渐近线的斜率k满足2<k<3,所以4<k2<9⇒4<e2-1<9⇒QUOTE<e<QUOTE.6.【思路点拨】画出图象,通过图象可知点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线l的垂线,此时d1+d2最小,依据抛物线方程求得F的坐标,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.【解析】选D.如图所示,由抛物线的定义知,|PF|=d1+1,∴d1=|PF|-1,d1+d2=d2+|PF|-1,明显当直线PF垂直于直线x-y+4=0时,d1+d2最小,此时d2+|PF|为F到直线x-y+4=0的距离.由题意知F点的坐标为(1,0),所以(d2+|PF|)min=QUOTE=QUOTE.∴(d1+d2)min=QUOTE-1.7.【解析】由题意知:B(c,QUOTE),∴k=QUOTE=QUOTE=1-e.又QUOTE<k<QUOTE,∴QUOTE<1-e<QUOTE,解得QUOTE<e<QUOTE.答案:(QUOTE,QUOTE)8.【思路点拨】将QUOTE用a,b表示,利用基本不等式求最值.【解析】S1=QUOTE·2a·2b=2ab,S2=QUOTE·2QUOTE·2QUOTE=2(a2+b2),QUOTE=QUOTE(a>0,b>0),∴QUOTE=QUOTE≤QUOTE(当且仅当a=b时取等号).答案:QUOTE9.【解析】设直线PA的斜率为kPA,PB的斜率为kPB,由QUOTE=2px1,QUOTE=2px0,得kPA=QUOTE=QUOTE,同理kPB=QUOTE,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此QUOTE=-QUOTE,即y1+y2=-2y0(y0>0),那么QUOTE=-2.答案:-210.【解析】(1)由题意知QUOTE=QUOTE,b=1,∴a=QUOTE,∴椭圆的方程为QUOTE+y2=1.由QUOTE得(2k2+1)x2-QUOTEkx-QUOTE=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=QUOTE,x1x2=-QUOTE.∴|AB|=QUOTE·|x1-x2|=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k2=1,∴k=±1.(2)∵QUOTE=(x1,y1-1),QUOTE=(x2,y2-1),∴QUOTE·QUOTE=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-QUOTEk(x1+x2)+QUOTE=-QUOTE-QUOTE+QUOTE=0.∴不论k取何值,以AB为直径的圆恒过M点.11.【解析】(1)∵QUOTE∴a=2,b=1,∴椭圆的方程为QUOTE+x2=1.(2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,由已知m·n=0,得4QUOTE-QUOTE=0⇒QUOTE=4QUOTE,又A(x1,y1)在椭圆上,所以QUOTE+QUOTE=1⇒|x1|=QUOTE,|y1|=QUOTE,S△AOB=QUOTE|x1||y1-y2|=QUOTE|x1|·2|y1|=1,三角形的面积为定值.②当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+t,由QUOTE⇒(k2+4)x2+2ktx+t2-4=0,必需Δ>0,即4k2t2-4(k2+4)(t2-4)>0,得到x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE,∵m⊥n,∴4x1x2+y1y2=0⇔4x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,代入整理得:2t2-k2=4,S=QUOTE×QUOTE|AB|=QUOTE|t|QUOTE=QUOTE=QUOTE=1,所以三角形的面积为定值.12.【解析】(1)依题意可得A(-1,0),B(1,0).设双曲线C的方程为x2-QUOTE=1(b>0),由于双曲线的离心率为QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即b=2.所以双曲线C的方程为x2-QUOTE=1.(2)设点P(x1,y1),T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直线AP的斜率为k(k>0)(易知k存在),则直线AP的方程为y=k(x+1),联立方程组QUOTE整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,解得x=-1或x=QUOTE,所以x2=QUOTE.同理可得x1=QUOTE.所以x1·x2=1.(3)由(2)得QUOTE=(-1-x1,-y1),QUOTE=(1-x1,-y1).由于QUOTE·QUOTE≤15,所以(-1-x1)(1-x1)+QUOTE≤15,即QUOTE+QUOTE≤16.由于点P在双曲线上,则QUOTE-QUOTE=1,所以QUOTE+4QUOTE-4≤16,即QUOTE≤4.由于点P是双曲线在第一象限内的一点,所以1<x1≤2.由于S1=QUOTE|AB||y2|=|y2|,S2=QUOTE|OB||y1|=QUOTE|y1|,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=(4-4QUOTE)-(QUOTE-1)=5-QUOTE-4QUOTE.由(2)知x1·x2=1,即x2=QUOTE.设t=QUOTE,则1<t≤4,QUOTE-QUOTE=5-t-QUOTE.设f(t)=5-t-QUOTE,则f′(t)=-1+QUOTE=QU