【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第10章-第1节-随机抽样

第十章第一节一、选择题1．接受系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7 B．9C．10 D．15[答案]C[解析]接受系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l＝30，第k组的号码为(k－1)30＋9，令451≤(k－1)30＋9≤750，而k∈Z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个．2．(文)(2022·东营模拟)某校选修乒乓球课程的同学中，高一班级有30名，高二班级有40名．现用分层抽样的方法在这70名同学中抽取一个样本，已知在高一班级的同学中抽取了6名，则在高二班级的同学中应抽取的人数为()A．6 B．8C．10 D．12[答案]B[解析]设高二同学中抽取x人，则eq\f(30,6)＝eq\f(40,x)，∴x＝8.(理)(2021·安庆二中段考)某校共有同学2000名，各班级男、女生人数如表，已知在全校同学中随机抽取1名，抽到二班级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名同学，则应在三班级抽取的同学人数为()一班级二班级三班级女生373xy男生377370zA.24 B．18C．16 D．12[答案]C[解析]由条件知，二班级女生有2000×0.19＝380名，∴三班级有同学2000－(373＋377＋380＋370)＝500名，由分层抽样定义知，在三班级应抽取500×eq\f(64,2000)＝16名．3．(2021·新课标Ⅰ理，3)为了解某地区的中学校生视力状况，拟从该地区的中学校生中抽取部分同学进行调查，事先已了解到该地区学校、学校、高中三个学段同学的视力状况有较大差异，而男女生视力状况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简洁随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样[答案]C[解析]由于学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．(文)一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种状况，打算实行分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为()A.eq\f(1,80) B．eq\f(1,24)C.eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)[答案]C[解析]本题主要考查分层抽样的特点．据题意管理人员这一层中每个个体被抽到的概率等于从总体中抽取10个样本每个个体被抽取的概率，即其概率为eq\f(10,80)＝eq\f(1,8).(理)(2022·潍坊模拟)据报道，某退役卫星由于体积过大，通过大气层后不能完全燃烧，降到地球的概率约为eq\f(1,3200)，为了争辩同学对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到2000份有效问卷，得到如下结果：对卫星撞地球的态度关注并不担忧关注有点担忧关注且格外担忧不关注人数(人)1000500x300若从收到的2000份有效问卷中，接受分层抽样的方法抽取20份，抽到关注且格外担忧的问卷份数为()A．2 B．3C．5 D．10[答案]A[解析]由题意x＝200，依分层抽样定义知，抽取关注且格外担忧的问卷份数为eq\f(200,2000)×20＝2.5．为规范学校办学，省训练厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名同学，现将该班同学随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是()A．13 B．19C．20 D．51[答案]C[解析]由系统抽样的原理知抽样的间隔为eq\f(52,4)＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，从而可知选C.6．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不当心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，依据以上信息，可得C产品的数量是()产品类别ABC产品数量(件)1300样本容量(件)130A.900件 B．800件C．90件 D．80件[答案]B[解析]设A、C产品数量分别为x件、y件，则由题意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋1300＝3000，,x－y×\f(130,1300)＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1700，,x－y＝100，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝900，,y＝800.))故选B.二、填空题7．一个总体分为A、B两层，其个体数之比为41，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为eq\f(1,28)，则总体中的个体数是________．[答案]40[解析]设x、y分别表示A、B两层的个体数，由题设易知B层中应抽取的个体数为2，∴eq\f(2,yy－1)＝eq\f(1,28)，解得y＝8或y＝－7(舍去)，∵xy＝41，∴x＝32，x＋y＝40.8．(文)(2022·烟台模拟)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，接受分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．[答案]19[解析]设从低收入家庭中应抽取x户，按分层抽样的定义知，eq\f(125,25)＝eq\f(95,x)，∴x＝19.(理)(2022·江西师大附中模拟)某校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成果分成90分以下、90～120分、120～150分三种状况进行统计，发觉三个成果段的人数之比依次为531，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝________.[答案]135[解析]由题意得eq\f(45,m)＝eq\f(3,5＋3＋1)，∴m＝135.9．(文)某工厂对一批产品进行抽样检测，依据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96,106]，若样本中净重在[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在[98,104)的产品个数是________．[答案]60[解析]设样本容量为x，则x·(0.05＋0.1)×2＝24，∴x＝80，∴样本中净重在[98,104)的产品个数是x·(0.1＋0.15＋0.125)×2＝80×0.375×2＝60.(理)(2021·福建漳州模拟)某校高三班级的同学共1000人，一次测验成果的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解状况，则80～90分数段应抽取________人．[答案]20[解析]各分数段人数的比例为0.010.020.030.04＝1234，故抽取50人，80～90分数段应抽取eq\f(4,1＋2＋3＋4)×50＝20(人)．三、解答题10．(文)为了了解某市工厂开展群众体育活动的状况，拟接受分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．[解析](1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为eq\f(7,63)＝eq\f(1,9)，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)记从A区抽取的两个工厂为A1、A2，从B区抽取的三个工厂为B1、B2、B3，从C区抽取的两个工厂为C1、C2，从这七个工厂中随机抽取两个，基本大事空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}中共有21个基本大事，其中大事A＝“这两个工厂中至少有一个来自A区”中含有11个基本大事，∴P(A)＝eq\f(11,21).(理)某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师依据分层抽样的方法组建了一个4人的课外爱好小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外爱好小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、争辩，这个爱好小组打算选出两名同学做某项试验，方法是先从小组里选出1名同学做试验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，其次次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．[解析](1)P＝eq\f(4,60)＝eq\f(1,15)，∴某同学被抽到的概率为eq\f(1,15).设有x名男同学，则eq\f(45,60)＝eq\f(x,4)，∴x＝3.∴男、女同学的人数分别为3,1.(2)从3名男同学和1名女同学中任选2名同学有Ceq\o\al(2,4)＝6种不同选法，其中恰有一名女同学的选法有3种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(3)eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(68＋70＋71＋72＋74,5)＝71，eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\f(69＋70＋70＋72＋74,5)＝71，seq\o\al(2,1)＝eq\f(68－712＋…＋74－712,5)＝4，seq\o\al(2,2)＝eq\f(69－712＋…＋74－712,5)＝3.2.∵seq\o\al(2,2)<seq\o\al(2,1)，∴其次位同学的试验更稳定.一、选择题11．(2022·安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有同学52人，现将全部同学随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号同学在样本中，则样本中还有一个同学的编号是()A．8 B．13C．15 D．18[答案]D[解析]由于系统抽样是等距抽样，44－31＝13，所以5＋13＝18.12．(文)一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是()A．30份 B．35份C．40份 D．65份[答案]C[解析]由条件可设从A、B、C、D四个单位回收问卷数依次为20－d,20,20＋d,20＋2d，则(20－d)＋20＋(20＋d)＋(20＋2d)＝100，∴d＝10，∴D单位回收问卷20＋2d＝40份．(理)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，打算接受分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则其次车间生产的产品数为()A．800 B．1000C．1200 D．1500[答案]C[解析]由于a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，∴eq\f(a＋b＋c,3)＝b，∴其次车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，依据分层抽样的性质可知，其次车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．13．(2022·德州模拟)某学校从高三全体500名同学中抽取50名同学做学习状况问卷调查，现将500名同学从1到500进行编号，求得间隔数k＝eq\f(500,50)＝10，即每10人抽取一个人，在1～10中随机抽取一个数，假如抽到的是6，则从125～140中应取的数是()A．126 B．136C．126或136 D．126和136[答案]D[解析]由系统抽样的学问知，抽取的号码为6＋10(k－1)(1≤k≤10)，由125≤6＋10(k－1)<140得，13≤k≤14，当k＝13时，抽取号码为126，当k＝14时，抽取号码为136，故选D.14．(文)(2022·广东)已知某地区中学校生人数和近视状况分别如图1和图2所示，为了解该地区中学校生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的同学进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200,20 B．100,20C．200,10 D．100,10[答案]A[解析]由题意知，该地区中学校生共有10000名，故样本容量为10000×2%＝200.由分层抽样知应抽取高中同学的人数为200×eq\f(2000,10000)＝40，其中近视人数为40×50%＝20，故选A.(理)(2022·广州综合测试一)某中学从某次考试成果中抽取若干名同学的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个，则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有()A．5个 B．6个C．8个 D．10个[答案]B[解析]分数段在[80,100]范围内占全部分数段的百分比为(0.025＋0.015)×10＝0.4，其中分数在[90,100]范围内的人数占全部分数段的百分比为0.015×10＝0.15，因此分数在[90,100]范围内占分数在[80,100]范围内的百分比为eq\f(0.15,0.4)＝eq\f(3,8)，因此分数在[90,100]范围内样本数据有16×eq\f(3,8)＝6，故选B.二、填空题15．(2022·锦州期中)某大路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参与市里召开的科学技术大会．假如接受系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；假如参会人数增加1个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n＝________.[答案]6[解析]总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为eq\f(36,n)，分层抽样的比例是eq\f(n,36)，抽取的工程师人数为eq\f(n,36)×6＝eq\f(n,6)，技术员人数为eq\f(n,36)×12＝eq\f(n,3)，技工人数为eq\f(n,36)×18＝eq\f(n,2)，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.当样本容量为(n＋1)时，总体需剔除1人，系统抽样的间隔为eq\f(35,n＋1)，由于eq\f(35,n＋1)必需是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.三、解答题16．(2021·贵州六校联考)为了参与2021贵州省高中篮球竞赛，某中学打算从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：班级高三(7)班高三(17)班高二(31)班高二(32)班人数12699(1)现实行分层抽样的方法是从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队员人数；(2)该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军．若要从高三(7)班和高三(17)班抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率．[分析](1)“分层抽样”应按比例从各班抽取队员；(2)计算概率可先选择一种编码方式，列举全部基本大事，再求概率．[解析](1)由题知，应从高三(7)班中抽出12×eq\f(12,36)＝4人，应从高三(17)班中抽出12×eq\f(6,36)＝2人，应从高二(31)班中抽出12×eq\f(9,36)＝3人，应从高二(32)班中抽出12×eq\f(9,36)＝3人．(2)记高三(7)班抽出的4人为A1、A2、A3、A4，高三(17)班抽出的两人为B1、B2，则从这6个人中抽出2人的基本大事有：(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，A4)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A2，A3)、(A2，A4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A3，A4)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A4，B1)、(A4，B2)、(B1，B2)共15个．记“抽出的2人来自同一班”的大事C，则大事C含：(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，A4)、(A2，A3)、(A2，A4)、(A3，A4)、(B1，B2)共7个基本大事，故P(C)＝eq\f(7,15).(理)(2021·哈尔滨四校统考)某中学为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟法庭”、“街舞”、“动漫”、“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：社团相关人数抽取人数模拟法庭24a街舞305动漫b4话剧12c(1)求a，b，c的值；(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担当指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．(3)若从“话剧”和“街舞”社团已抽取的人中选3人参与某项竞赛，记参赛选手中“话剧”社团的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[分析](1)由分层抽样各层抽样比相等，可求a，b，c的值；(2)先列出从两个社团抽取的人中选2人的全部基本大事，“这2人分别来自两个社团”的含义是每个社团一个人，简洁数出．(3)从两社团已抽取的7人中选3人参赛，其中含“话剧”社团人数ξ听从超几何分布．[解析](1)由表可知抽取比例为eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，故a＝4，b＝24，c＝2.(2)从“动漫”与“话剧”社团分别抽取了4人、2人，从中任选2人共有Ceq\o\al(2,6)＝15种不同选法．这两人分别来自这两个社团，共有4×2＝8种不同选法，∴所求概率P＝eq\f(8,15).(3)从“街舞”社团抽取了5人，从“话剧”社团抽取了2人，从这7人中选3人参赛，其中所含“话剧”社团人数ξ的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,2),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7).∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)∴E(ξ)＝0×eq\f(2,7)＋1×eq\f(4,7)＋2×eq\f(1,7)＝eq\f(6,7).17．(文)(2022·哈三中一模)某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把同学的平常成果按“百分制”折算，排出前n名同学，并对这n名同学按成果分组，第一组[75,80)，其次组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、其次组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(1)请在图中补全频率分布直方图；(2)若B高校打算在成果高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名同学，并且分