【同步辅导】2021高中数学北师大版必修四导学案：《余弦函数的图像与性质》

第6课时余弦函数的图像与性质1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简洁函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.假如函数y=cos(x3+φ)(0<φ<π)的一条对称轴方程为x=9π4,那么φ值是不是也可仿照正弦函数的复合函数求法得出?在此条件下函数y=sin(2x-φ)(0≤x<π问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx的图像向平移个单位长度得到(如图).

(2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为.

问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.

问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为;

(4)对称中心为.

问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当ωx+φ=π2+kπ时,即为对称中心(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;

(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为区间.(注:以上k∈Z)

1.已知函数f(x)=sin(x-π2)(x∈R),下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,π2]C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数2.y=1+cosx(x∈0,2π)的图像与直线y=32的交点个数为A.0 B.1 C.2 D.33.对于余弦函数y=cosx的图像,有以下描述:①向左、向右无限伸展;②与y=sinx的外形完全一样,只是位置不同;③与x轴有很多个交点;④关于y轴对称.其中描述正确的是.

4.求下列函数的最大值和最小值:(1)y=1-12cosx;(2)y=3+2cos(作函数的图像用“五点法”画出函数y=2+3cosx在x∈[0,2π]内的图像.余弦函数的图像与性质的应用(1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域;(2)求函数y=lgsin(cosx)的定义域.余弦函数性质的综合运用是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx+58a-32在闭区间[0,π2]上的最大值是1?若存在,求出对应的a值;若不存在画出函数y=1+|cosx|,x∈[0,2π]的图像.已知定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(12)=0,△ABC的内角A满足f(cosA)≤0,求角A的取值范围已知-π6≤x≤π4,求函数y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)1.若实数a使得方程cosx=a在[0,2π]上有两个不相等的实数根x1,x2,则sin(x1+x2)等于().A.0 B.1 C.-12 D.-2.在[0,2π]上,函数y=cosx与直线y=1围成的封闭图形的面积是().A.π B.2π C.3π D.π3.函数y=f(cosx)的定义域为[2kπ-π6,2kπ+2π3](k∈Z),则函数y=f(x)4.求函数y=2cosx-(2011年·全国大纲卷)设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移π3个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于()A.13 B.3 C.6 D.考题变式(我来改编):第6课时余弦函数的图像与性质学问体系梳理问题1:(1)左π2(2)(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(问题2:(1)R(2)[-1,1](3)[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)问题3:(1)2π(3)x=kπ(4)(π2+kπ,0)问题4:(1)((2k+1)π-2φ2ω,0)(2基础学习沟通1.Dy=sin(x-π2)=-cosx,由余弦函数的性质可知A,B,C均正确,故选D2.C作出y=1+cosx(x∈0,2π)的图像,如图所示,直线y=32与函数有两个交点A、B,也可直接联立两函数方程得cosx=12(x∈[0,2π3.①②③④由函数y=cosx的图像可知①②③④都正确.4.解:(1)∵1-12cosx≥0,-∴当cosx=-1时,ymax=62当cosx=1时,ymin=22(2)∵-1≤cos(2x+π3)≤1∴当cos(2x+π3)=1时,ymax=5当cos(2x+π3)=-1时,ymin=1重点难点探究探究一:【解析】x0ππ32πy=cosx10-101y=2+3cosx52-125如图所示:【小结】加强对比正弦、余弦函数五点法的区分及联系,留意所画图像要用光滑的曲线连接起来,不能画成直线.探究二:【解析】【解析】(1)由题意可知0≤cosx≤1⇒2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈∴所求函数的定义域为{x|2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z(2)由sin(cosx)>0得2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z).又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1,解得2kπ-π2<x<2kπ+π2(k∈Z故所求定义域为{x|2kπ-π2<x<2kπ+π2,k∈Z【小结】求三角函数的定义域时,通常转化为解三角不等式,其常用的方法有两种:一是图像法;二是三角函数线法.探究三:【解析】y=1-cos2x+acosx+58a-=-(cosx-12a)2+a24+5当0≤x≤π2时,0≤cosx≤1,∴当cosx=12a,且0≤12a≤1,即1≤a≤2时,ymax=a24+58a-12=1,即2a2+5a-12=0,解得a1=32,a2=-4∴存在a=32符合题设[问题]以上解答过程完全吗?[结论]不完全,由于y有最大值时不肯定是cosx=12a;留意此处要对12a<0、0≤12a≤1、12于是,正确解答如下:y=1-cos2x+acosx+58a-32=-(cosx-a2)2+a24又0≤x≤π2,∴0≤cosx≤1若a2>1,即a>2,则当cosx=1时,ymax=a+58a-32=1⇒a=2021<2若0≤a2≤1,即0≤a≤2,则当cosx=a2时,ymax=a24+58a-12=1⇒a=32或若a2<0,即a<0,则当cosx=0时,ymax=58a-12=1⇒a=125>0综上可知,存在a=32符合题设【小结】三角函数换元成二次函数是一个关键点,换元之后要留意新的变量的取值范围.思维拓展应用应用一:可用五点法画出图像.(1)列表:x0ππ32πy21212(2)描点画图(如图所示)y=1+|cosx|,x∈[0,2π]的图像实质是将y=cosx,x∈[0,2π]的图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方(x轴上方部分不变),再向上平移1个单位长度而得到.应用二:①当0<A<π2时,cosA>0∵f(cosA)≤0=f(12),又f(x)在(0,+∞)上为递增函数,得cosA≤12,解得π3≤②当π2<A<π时,cosA<0∵f(cosA)≤0=f(-12),又f(x)为R上奇函数∴f(x)在(-∞,0)上也为递增函数,可得cosA≤-12∴2π3≤A<③当A=π2时,cosA=0,∴f(0)≤0也成立(f(0)=0综上所述,角A的取值范围是[π3,π2]∪[2π3应用三:当x∈[-π6,π4]时,1+sinx>0和1-sinx>0∴原函数可化为y=log2(1-sin2x)=log2cos2x,又cosx>0在[-π6,π4]∴原函数可化为y=2log2cosx,当x∈[-π6,π4]时,22≤cosx∴2log222≤2log2cosx≤2log21,即-1≤y≤0故在[-π6,π4]上,ymax=0,ymin=-基础智能检测1.A画出y1=cosx,y2=a在[0,2π]上的图像,得两交点必关于直线x=π对称,∴x1+x22=π,即x1+x2=2π,∴sin(x1+x2.B如图,设矩形ABCD的面积为S,则S=4π,由图像的对称性可知,S1=S2=S3=S4,∴所求封闭图形的面积为12S=2π3.[-12,1]由于2kπ-π6≤x≤2kπ+2π3(k∈Z),所以-12≤cosx≤1,所以y=f(x)的定义域为[-4.解:由2cosx-3≥0,得cosx≥32即2kπ-π6≤x≤2kπ+π6(k∈又y=cosx的单调递增区间为2kπ-π≤x≤2kπ(k∈Z),∴函