二次函数的图象与性质复习课课件

二次函数的图象与性质复习课课程目标理解二次函数图象掌握二次函数图象的平移、伸缩、翻转等变换熟练运用二次函数的性质解决实际问题提高对二次函数的理解和应用能力二次函数的基本形式一般形式y=ax²+bx+c(a≠0)顶点形式y=a(x-h)²+k交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)二次函数的判定1定义式判定若函数解析式可以写成y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式，则该函数为二次函数。2图象判定若函数图象为抛物线，则该函数为二次函数。3性质判定若函数满足自变量的增减性与函数值的增减性相反，则该函数为二次函数。二次函数的性质概述开口方向开口方向取决于二次项系数的符号，a>0向上，a<0向下。顶点坐标顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，表示函数图象的最高点或最低点。对称轴对称轴为直线x=-b/2a，过顶点，将图象分成左右两部分。二次函数的图象二次函数的图象是一条抛物线。抛物线的开口方向取决于二次项系数的符号，开口向上或向下。顶点坐标决定抛物线的对称轴和顶点位置。对称轴垂直于x轴，且过顶点。抛物线的形状取决于二次项系数和常数项的值。例如，当二次项系数为正数时，抛物线开口向上。当常数项为负数时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上。二次函数图象的平移向上平移将函数解析式中的常数项加上一个正数，例如，将y=x^2平移向上2个单位，得到y=x^2+2向下平移将函数解析式中的常数项减去一个正数，例如，将y=x^2平移向下2个单位，得到y=x^2-2向右平移将函数解析式中的自变量x替换为(x-a)，例如，将y=x^2平移向右2个单位，得到y=(x-2)^2向左平移将函数解析式中的自变量x替换为(x+a)，例如，将y=x^2平移向左2个单位，得到y=(x+2)^2二次函数图象的伸缩1纵向伸缩y=af(x),a>1时，图象沿y轴方向拉伸2纵向压缩y=af(x),03横向伸缩y=f(bx),04横向压缩y=f(bx),b>1时，图象沿x轴方向压缩二次函数图象的翻转1关于x轴翻转将函数图像关于x轴翻折2关于y轴翻转将函数图像关于y轴翻折3关于原点翻转将函数图像关于原点翻折二次函数图象的综合变换1平移改变函数表达式中的常数项，可以使二次函数图象沿y轴方向平移。2伸缩改变函数表达式中的系数，可以使二次函数图象沿x轴或y轴方向伸缩。3翻转改变函数表达式中的符号，可以使二次函数图象关于x轴或y轴翻转。二次函数的最值定义二次函数在定义域内取得的最大值或最小值叫做二次函数的最值。求解可以通过配方、函数性质、图象等方法求解二次函数的最值。应用在实际问题中，可以用二次函数的最值解决一些优化问题，例如求利润最大值、成本最小值等。二次函数的最值性质顶点开口向上时，顶点为最小值；开口向下时，顶点为最大值对称轴对称轴左侧函数值递减，右侧函数值递增（开口向上）；对称轴左侧函数值递增，右侧函数值递减（开口向下）区间在对称轴左侧或右侧的特定区间内，函数值有最大值或最小值二次函数的最值应用优化问题求解最大利润、最小成本、最优设计等问题。几何问题求解最短距离、最大面积、最小周长等问题。物理问题求解最大速度、最小时间、最优轨道等问题。二次函数零点的求解1公式法利用求根公式直接求解。适用于所有二次函数2因式分解法将二次函数分解成两个一次因式的乘积。适用于系数简单的二次函数3配方法将二次函数配方成完全平方形式，再求解。适用于无法直接分解的二次函数4图象法利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为零点。适用于直观观察二次函数零点的性质对称性二次函数图象关于对称轴对称，零点关于对称轴对称。判别式判别式Δ可以判断二次函数是否有零点，Δ>0时有两个零点，Δ=0时有一个零点，Δ<0时没有零点。韦达定理对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），设两根为x1,x2，则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a。二次函数的图象与零点二次函数图象与x轴的交点称为二次函数的零点。零点个数与判别式△的关系：△>0,二次函数有两个不同的零点△=0,二次函数有一个零点（重根）△<0,二次函数没有零点二次函数的图象与性质综合应用问题解决结合二次函数的图象与性质，解决实际问题，如：求函数的最值求函数的零点确定函数的增减区间应用场景在物理、经济、工程等领域都有广泛应用，例如：抛物线运动利润最大化桥梁设计典型例题讲解1例1：已知二次函数y=2x^2+4x-1，求其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和与x轴的交点坐标。解：1.开口方向：a=2>0，开口向上。2.对称轴：x=-b/2a=-4/(2*2)=-1。3.顶点坐标：当x=-1时，y=2*(-1)^2+4*(-1)-1=-3，顶点坐标为(-1,-3)。4.与x轴交点：令y=0，则2x^2+4x-1=0，解得x=(-2±√6)/2，所以与x轴交点坐标为((-2+√6)/2,0)和((-2-√6)/2,0)。典型例题讲解2例题已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),B(1,0),C(0,-3),求该二次函数的解析式.解析将A,B,C三点坐标代入函数解析式，得到方程组：a-b+c=0a+b+c=0c=-3解得a=-3,b=0,c=-3,所以二次函数的解析式为y=-3x2-3.典型例题讲解3例题3已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)、(2,3)、(3,6)，求该二次函数的解析式。解题思路将三个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于a、b、c的三个方程组，解方程组即可得到a、b、c的值，从而得到二次函数的解析式。学生练习巩固知识完成习题册上的相关练习，巩固对二次函数图象与性质的理解。应用实践尝试将二次函数的知识应用于实际问题中，例如解决生活中的优化问题。拓展思考思考一些拓展性的问题，例如二次函数的应用范围和局限性。课堂讨论问题探讨针对本节课中遇到的问题，进行讨论，并提出疑问。思路分享分享解题思路，互相学习，共同进步。小组合作小组成员合作完成问题，提高学习效率。课堂总结1复习二次函数性质我们今天回顾了二次函数的定义、图象和性质，例如开口方向、对称轴、顶点坐标、函数值的变化规律以及与一元二次方程的联系。2应用二次函数知识我们通过一些典型例题，学习了如何利用二次函数的性质来解决实际问题，比如求解函数的最值、零点以及图像的平移和伸缩。3继续深入学习二次函数是一个基础性的数学概念，它在后续的学习中会不断应用，所以同学们需要牢固掌握它的性质和应用方法。作业布置课本习题复习课本相关章节的习题，巩固所学知识。拓展练习尝试解答一些拓展性的问题，提升思维能力。思考与反馈课后反思回顾课堂内容，思考哪些内容理解得比较透彻，哪些内容还存在疑惑。提出问题积极思考，将课堂上遇到的难题记录下来，并尝试寻找答案。交流讨论与同学或老师交流，共同探讨学习中的困惑，互相帮助，共同进步。本节课的重点与难点1重点理解二次函数图象的性质和变化规律。2难点运用图象和性质解决实际问题，如求最值、零点等。下节课预告二次函数与一元二次方程