导数的基本概念

导数的基本概念一、原函数的概念求函数的导数或微分是微分学的基本问题，但在工程与社会实践中往往会遇到这类问题的逆问题.例如，在物理学中常提出：在已知物体运动速度v=v(t)的情况下，如何求出该物体的运动方程s=s(t)的问题.由微分学知识可知，s′(t)=v(t)，此问题实际上是要求出使s′(t)=v(t)成立的s(t)，这是与求导运算相反的问题.我们称s(t)为s′(t)［即v(t)］的原函数.

从纯数学意义上审视，我们知道，(x2)′=2x，2x是x2的导函数；反之，x2称为2x的一个原函数.下面给出原函数的定义.引例1.一、原函数的概念原函数定义2.定义1如果在区间D上定义了一个可导函数F(x)，对于区间D上的所有x，都有

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx(x∈D)，(5-1)

则称F(x)为f(x)在区间D上的一个原函数.

例如，因(x3)′=3x2(－∞<x<+∞)，故x3是3x2在(－∞,+∞)内的一个原函数;又如，(arctanx)′=11+x2，故arctanx是11+x2在(－∞,+∞)内的一个原函数.

一、原函数的概念当等式成立的区间为(－∞,+∞)时可以省略不写.注一、原函数的概念进一步考虑，如果一个函数存在原函数，原函数有多少个？这些原函数之间又有什么关系呢？请看下面例子：

(x2)′=(x2±1)′=(x2±2)′=…=(x2+C)′=2x，由原函数的定义知：x2，x2±1，x2±2，…，x2+C均为2x的原函数.这说明，一个函数如果有原函数就有无穷多个原函数.那么，在什么条件下，一个函数一定存在原函数?是不是任意给出的函数都有原函数？要回答这个问题请看下面定理.

一、原函数的概念原函数定理3.定理1(原函数存在定理)若函数f(x)在区间D上连续，则f(x)在区间D上一定存在原函数F(x).

该定理将在第五章第二节予以证明.由于初等函数在其定义区间上是连续的，因此，根据定理1可知，初等函数在其定义区间上存在原函数.一、原函数的概念定理2(原函数族定理)如果函数F(x)是f(x)在区间D上的原函数，则(1)F(x)+C也是f(x)在区间D上的原函数，其中C是任意常数.

(2)f(x)在区间D上的任意两个原函数之间只相差一个常数.

证(1)因为

［F(x)+C］′＝F′(x)＝f(x)，这表明F(x)+C是f(x)的原函数.一、原函数的概念(2)设G(x)和F(x)是f(x)在区间D上任意两个原函数，则［G(x)－F(x)］′=G′(x)－F′(x)=f(x)－f(x)=0.

根据拉格朗日中值定理的推论2，便可得

G(x)－F(x)=C.

定理2表明，如果找到了f(x)的一个原函数F(x)，那么F(x)+C也是f(x)的原函数；而f(x)的其他任意一个原函数与F(x)之间只相差一个常数，因此f(x)的全体原函数可以表达为F(x)+C.

根据原函数的这种性质，下面引入不定积分的概念.二、不定积分的概念不定积分的定义1.定义2f(x)在区间D上的全体原函数称为f(x)在区间D上的不定积分，记作

∫f(x)dx，其中“∫”称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.

若F(x)是f(x)在区间D上的一个原函数，根据定义2和定理2，有∫f(x)dx=F(x)+C，(5-2)

其中C是任意常数，称为积分常数.一般情况下积分常数用字母C表示，需要时也可用A，B或C1，C2等表示.

二、不定积分的概念根据定义2可得不定积分的四个重要性质(不定积分与微分的运算关系)：二、不定积分的概念这说明，如果一个函数先积分再微分(或求导)，结果是这两种运算互相抵消；如果对它先微分(或求导)再积分，其结果与原来的函数相差一个任意常数.这四个性质以后可以当公式直接使用.

二、不定积分的概念【例1】二、不定积分的概念【例2】二、不定积分的概念【例3】二、不定积分的概念【例4】二、不定积分的概念【例5】二、不定积分的概念不定积分的几何意义2.设y=F(x)是f(x)的一个原函数，函数y=F(x)在平面上表示一条曲线，则该曲线上任意一点(x,y)的切线斜率为f(x)，我们称函数y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.于是，函数f(x)的不定积分∫f(x)dx=F(x)+C在几何上表示一族积分曲线，它可由f(x)的某一条积分曲线y=F(x)沿y轴方向上下平移得到.显然，积分曲线族中每一条积分曲线在横坐标相同点处的切线相互平行，如图5-1所示.

图5-1二、不定积分的概念已知某曲线上任意一点处的切线斜率等于3x2，且该曲线通过点(1,2)，求此曲线方程.解设所求曲线方程为y=F(x)，其中(x,y)是曲线上的任意一点.根据导数的几何意义及题设条件，有

F′(x)=3x2.

由于(x3)′=3x2，所以x3是3x2的一个原函数，因此

F(x)=∫3x2dx=x3+C.

将题中所给初始