多元函数微分学在几何上的应用

多元函数微分学在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面定义10设M0是空间曲线Γ上的一点，M是Γ上的另一点(见图8-16).则当点M沿曲线Γ趋向于点M0时，割线M0M的极限位置M0T(如果存在)称为曲线Γ在点M0处的切线.过点M0且与切线垂直的平面，称为曲线Γ在点M0处的法平面.图8-16一、空间曲线的切线与法平面下面根据曲线方程不同的形式，建立空间曲线Γ的切线与法平面方程.(1)设曲线Γ的参数方程为当t=t0时，曲线Γ上的对应点为M0(x0,y0,z0).假定x(t)，y(t)，z(t)可导，且x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)不同时为零.给t0以增量Δt，对应地在曲线Γ上有一点M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，则割线M0M的方程为一、空间曲线的切线与法平面上式中各分母除以Δt，得当点M沿曲线Γ趋向于点M0时，有Δt→0，对上式取极限，因为上式分母各趋向于x′(t0)，y′(t0)，z′(t0)，且不同时为零，所以割线的极限位置存在，且为(8-21)这就是曲线Γ在点M0处的切线M0T的方程.切线的方向向量T可取为

{x′(t0),y′(t0),z′(t0)}.容易知道，曲线Γ在点M0处的法平面的方程为

x′(t0)(x－x0)+y′(t0)(y－y0)+z′(t0)(z－z0)=0.(8-22)一、空间曲线的切线与法平面【例36】一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线若曲面上过点P0的任一曲线的切线都在同一平面上，则称这平面为曲面在点P0的切平面.过点P0而与切平面垂直的直线称为曲面在P0的法线.下面求曲线上一点处切平面和法线的方程.以下分别就所给曲面方程的两种形式来分析.二、曲面的切平面与法线隐式方程Fx,y,z=01.设曲面Σ由方程Fx,y,z=0给出.为确定曲面Σ上一点P0(x0,y0,z0)的切平面，先在曲面Σ上，通过点P任意引一条曲线Γ(见图8-17).图8-17二、曲面的切平面与法线假定Γ的参数方程为且设t=t0对应于点P0(x0,y0,z0)，并设Fx,y,z在点P0处有连续偏导数且不同时为零，即Γ在点P0处的切向量T=φ′(t0),ψ′(t0),ω′(t0)不为零.二、曲面的切平面与法线由于曲线Γ在曲面Σ上，所以有恒等式F［φ(t),ψ(t),ω(t)］≡0.又由于Fx,y,z在点P0(x0,y0,z0)处有连续偏导数，且φ′(t0),ψ′(t0)和ω′(t0)存在，所以恒等式两边对t求导，得即二、曲面的切平面与法线将上式写成向量的点积形式为说明向量n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)是与Σ上过点P0的曲线Γ的切线垂直的向量.因为曲线Γ是曲面上通过点P0的任意一条曲线，所以在曲面上过点P0的所有曲线的切线都在同一平面上，故此平面就是曲面在点P0的切平面.该切平面通过点P0，且以n为它的法向量.因此，切平面的方程为Fx(x0,y0,z0)(x－x0)+Fy(x0,y0,z0)(y－y0)+Fz(x0,y0,z0)(z－z0)=0.曲面Σ在点P0处的法线方程为二、曲面的切平面与法线显式方程z=f(x,y)2.由多元函数定义知，二元函数z=f(x,y)的图形就是一张曲面，反之，也把二元函数z=f(x,y)称为曲面的显式方程.要求此形式下的曲面的切平面和法线方程,事实上，只需将其化为隐式方程即可.令F(x,y,z)=f(x,y)－z，可见z=f(x,y)等价于Fx,y,z=0，而且有Fx(x,y,z)=fx(x,y),Fy(x,y,z)=fy(x,y),Fzx,y,z=-1,

二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线【例38】试求抛物面z=ax2+by2在点M(x0,y0,z0)处的切平面与法线方程.

解设f(x,y)=ax2+by2,则fx(x0,y0)=2ax0,fy(x0,y0)=2by0,

于是，过M的切平面方程为z