曲线方程课件

曲线方程曲线方程空间曲线是由两个曲面相交而产生的，由于空间曲面方程的建立和图形绘制较难，为此，空间曲线图形的绘制和方程的建立更难.本节将简单介绍空间曲线的参数式方程和空间曲线在坐标面上的投影曲线方程，供我们在今后的学习中参考.一、空间曲线及其方程空间曲线的一般式方程1.空间直线可以看作是两个平面的交线，而它的方程可以用这两相交平面方程的联立方程组来表示.同样，空间曲线可以看作两个曲面的交线.设有两个相交的曲面，它们的方程分别是F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0.那么联立方程组

(7-29)

就是它们交线的方程，称式(7-29)为空间曲线的一般式方程.一、空间曲线及其方程【例31】一、空间曲线及其方程空间曲线的参数式方程2.空间曲线的参数式方程是我们在学习多元函数积分学时要用到的，但其方程的建立比较麻烦，我们这里只简单介绍只有一个参变量的参数方程.如果曲线C上的点M(x,y,z)的坐标可以表示为某个变量t的函数，即

(7-30)当t在［α,β］上每取一个值时，就得到曲线C上的一个点M(x,y,z)，而t由α变到β时就得到曲线C上的所有点.则式(7-30)称为曲线C的参数式方程，其中t称为参数.一、空间曲线及其方程【例32】图7-37一、空间曲线及其方程二、空间曲线在坐标面上的投影设在空间直角坐标系中有一条曲线C′，过C′作母线平行于z轴的柱面，与xOy平面的交线为C，则称C为曲线C′在xOy面上的投影曲线(见图7-38).图7-38二、空间曲线在坐标面上的投影下面来建立空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.设空间曲线C′的方程为

(7-31)为求C′在坐标面xOy面上的投影曲线方程，现从式(7-31)中消去z后，得方程

H(x,y)=0，(7-32)

二、空间曲线在坐标面上的投影这正是母线平行于z轴的柱面方程.由于它是从式(7-31)中得出，为此，在曲线C′上的点，其坐标必满足式(7-31)，从而也一定满足H(x,y)=0，所以，这个柱面是以曲线C′为准线的柱面，我们称其为投影柱面.它与xOy坐标面的交线C的方程为

(7-33)

即为空间曲线C′在xOy坐标面上的投影曲线方程.同理，从式(7-31)中消去x或y，分别得投影柱面方程G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分别与x=0或y=0联立，即可得曲线C′在坐标面yOz面或zOx面上的投影曲线方程分别为

二、空间曲线在坐标面上的投影【例33】二、空间曲线在坐标面上的投影中未知量z消去.方程组中两方程相减得x+z=1，即z=1－x，将其代入x2+y2+z2=1得投影柱面方程为

2x2+y2－2x=0.于是，两球面的交线在xOy面上的投影曲线方程为最后，我们通过例题来说明，空间解析几何中由方程来描绘空间区域的方法.它在今后多元函数积分学中经常用到，要仔细体会.二、空间曲线在坐标面上的投影【例34】二、空间曲线在坐标面上的投影方程y2+z2=1表示以坐标面yOz面上的圆y2+z2=1为准线，母线平行于x轴的圆柱面.于是y2+z2≤1表示这个圆柱面所围成的内部及其表面.直圆柱面y2+z2=1在平面x=0,y=0，x+y