2-1-2两条直线平行和垂直的判定

高中数学

人教A版（2019）

选择性必修第一册第二章

直线和圆的方程2.1.2两条直线平行和垂直的判定教材分析

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第一节《直线的倾斜角与斜率》。以下是本单元的课时安排：第二章直线和圆的方程课时内容2.1直线的倾斜角与斜率2.2直线的方程2.3直线的交点坐标与距离公式所在位置教材第51页教材第59页教材第70页新教材内容分析直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础.围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点.“点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．核心素养培养通过直线的倾斜角和斜率的求解，通过例题直线平行与垂直的判定，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。通过直线方程的求法，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。通过直线交点的求法，距离公式的应用，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。教学主线直线的方程的应用学习目标

1.理解两条直线平行与垂直的条件,培养数学抽象的核心素养.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养.重点、难点1.重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件2.难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直（一）新知导入

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?（二）两条直线的平行与垂直知识点1平行【探究1】如图，对于两条不重合的直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？[提示]α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，因为α1＝α2，所以tanα1＝tanα2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1，k2不存在．【探究2】对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？[提示]一定有l1∥l2.（二）两条直线的平行与垂直◆设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时分别为k1，k2.则对应关系如下：前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔

.l1∥l2⇔.图示【做一做】已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为()A．0B．－8

C．2 D．10Bk1＝k2两直线斜率都不存在（二）两条直线的平行与垂直知识点2

垂直

3．当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？[提示]直线l2的斜率不存在，如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾斜角为90°，其斜率不存在．（二）两条直线的平行与垂直◆两条垂直直线斜率之间的关系对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔.l1与l2中的一条斜率

，另一条斜率为

，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示【做一做1】(教材P57例5改编)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形【做一做2】(教材P57练习2改编)直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.k1·k2＝－1不存在零C-17（三）典型例题1.两条直线平行

（三）典型例题(2)已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为________．

【类题通法】1.判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．2.若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解．

（三）典型例题2.两条直线垂直

（三）典型例题

（三）典型例题【类题通法】利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．

【答案】C（三）典型例题3.直线平行与垂直的综合应用例3.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状．[解析]A、B、C、D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得

（三）典型例题【类题通法】利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤【巩固练习3】已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点的坐标为________．

（四）操作演练

素养提升

2.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是()A．1 B．－1

C．2 D．－23.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________.

（五）课堂小结知识总结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时