矩阵的初等变换

矩阵的初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵一、我们发现，在利用消元法求线性方程组的解时，经常用到如下三种同解变形：（1）交换两个方程的位置.（2）用非零常数乘以某一个方程.（3）用一个常数乘以一个方程加到另一个方程上去．这三种运算称为线性方程组的初等变换，而且，线性方程组经过初等变换后其解不变．从矩阵的角度观察，这种对线性方程组进行初等变换的过程，我们可以归结为对相应矩阵的行进行初等变换，这就是矩阵的初等行变换．定义2-17下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调矩阵某两行的位置（对调i，j两行，记作ri-rj）.（2）以数k（k≠0）乘以矩阵某一行中的所有元素（k乘以第i行，记作kri）.（3）把某一行所有元素的λ倍加到另一行的对应元素上（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj）．把定义中的“行”换成“列”即得到矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把r换成c）．矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换．定义2-18由单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．对应于矩阵的三种初等变换形式，有三种初等矩阵．（1）对调单位矩阵的任意两行（列）.例如，把单位矩阵E中第i，j两行（列）对调（ri-rj或ci-cj），得初等矩阵（2）以任意常数k（k≠0）乘以单位矩阵的某行（列）.例如，以任意常数k（k≠0）乘以单位矩阵E的第i行（列）（kri或kci），得初等矩阵（3）以任意常数k乘以单位矩阵的某行（列）后加到另一行（列）上.例如，以数k乘以单位阵的第i行（列）加到第j行（列）上（rj+kri或cj+kci），得初等矩阵容易验证，初等矩阵具有以下性质：（1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵.（2）初等矩阵均是可逆矩阵.（3）初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，且定理2-4设A=(aij)是m×n型矩阵，则（1）对A每施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以一个相应的m阶初等矩阵.（2）对A每施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以一个相应的n阶初等矩阵．定理证明从略．下面通过实例来说明．这说明交换矩阵的第2行与第3行相当于用初等矩阵E3(2,3)左边乘以矩阵A．将矩阵A的第2列与第3列互换，则有若用E4(2,3)右边乘以矩阵A，则有可见，交换矩阵A的第2列与第3列相当于用初等矩阵E4(2,3)右边乘以矩阵A．用同样的方法可以验证，对矩阵A每施行一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘以一个相应的初等矩阵．利用初等变换化简矩阵二、对矩阵进行初等变换的一个重要目的就是化简矩阵．下面介绍化简后的矩阵形式及化简方法．如果矩阵A的某一行各个元素均为0，那么称该行为矩阵A的零行，否则称该行为矩阵A的非零行．定义2-19满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：（1）非零行都在零行的上方（没有零行就认为已满足）.（2）每一非零行的非零首元所在列中，该元素下方的元素全为0．例如，矩阵都是行阶梯形矩阵，而矩阵就不是行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵的特点为：可以在矩阵上画出一条阶梯线，线的下方全是零元素；每个阶梯只有一行，阶梯数就是矩阵非零行的行数；每个阶梯上的第一个元素为非零元．定义2-20如果行阶梯形矩阵还满足下列两个条件，那么称其为行最简形矩阵：（1）非零行的第一个非零元素都是1.（2）非零行的非零首元所在列的其他元素都是0．例如，矩阵是行最简形矩阵，而矩阵都不是行最简形矩阵．定理2-5利用初等行变换可以把任意非零矩阵化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简阶梯形矩阵．定理2-6对于任意非零矩阵A=（aij）m×n，都可经过有限次初等变换化为形如的矩阵，称此矩阵为矩阵A的等价标准形，其特点是左上角是一个r阶的单位矩阵，其余元素均为0．即对于任何矩阵A

m×n，总可以经过有限次初等变换把A化成行阶梯形、行最简阶梯形及标准形矩阵．将矩阵A化为行阶梯形、行最简形及行标准形矩阵，其中【例2-24】其中，矩阵B1，B2，B3分别是矩阵A的行阶梯形、行最简形及行标准形矩阵．

注意：矩阵经初等变换后变成另外一个矩阵，运算过程中不能用等号．且矩阵的初等变换与行列式的三种基本运算方式要区别记忆．初等变换的应用三、求矩阵的秩1.定理2-7任意非零矩阵A=（aij）m×n在经过一系列初等行变换后秩不变，且矩阵A的秩等于其相应阶梯形矩阵非零行的行数．由此，我们可以得到一个求矩阵秩的方法：对矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，则矩阵的秩为此行阶梯形矩阵中非零行的行数．【例2-25】解

先把A化为行阶梯形矩阵:定理2-8用矩阵的初等行变换求逆矩阵2.设A为n阶方阵，在A的右边同时写出与A同阶的单位矩阵E，构成一