空间 直线及其方程

空间直线及其方程一、空间直线方程空间直线的点向式方程1.首先给出直线的方向向量的概念.已知直线L，任意一个平行于L的非零向量称为这条直线的方向向量，直线方向向量s的坐标m,n,p称为这条直线的方向数,而向量s的方向余弦称为该直线的方向余弦.显然,直线上任一向量都可视为该直线的方向向量.一、空间直线方程在空间中给定直线L上一点M0x0,y0,z0及它的一个方向向量s=m,n,p,就可以唯一地确定直线L的位置.下面来建立直线L的方程,如图7-39所示.图7-39一、空间直线方程设M(x,y,z)为直线L上的任一点,那么有与s平行，所以两向量的对应坐标成比例，从而有

（7-12）这就是直线L的方程，称为直线的点向式方程或对称式方程.一、空间直线方程因为s≠0，所以m,n,p不全为零，但当m,n,p中有一个为零，如m=0时，方程(7-12)成为表示一条平行于yOz面的直线，其上的点恒满足x=x0；而当m,n,p中有两个为零，如m=n=0时，方程(7-12)成为表示一条平行于z轴的直线，其上的点恒满足x=x0,y=y0.一、空间直线方程求过点A(2,-3,4)，且和y轴垂直相交的直线的方程.

解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,-3,0)，于是取方向向量因此，直线方程为也可写为【例1】一、空间直线方程已知两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，试求过M1,M2的直线方程.

解由直线过点M1和M2知，其方向向量s=x2-x1,y2-y1,z2-z1，于是直线的点向式方程为【例2】一、空间直线方程空间直线的参数方程2.由直线的点向式方程，可以得出直线的参数方程.设则此方程组就是直线的参数方程，其中t为参数.若s=m,n,p为单位向量，则t的绝对值代表动点Mx,y,z到定点M0x0,y0,z0的距离与s同向时，t为正；反向时，t为负.一、空间直线方程空间直线的一般方程3.更一般的情况下，空间直线L可以看作是两个平面π1和π2的交线.设直线L是平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0与π2：A2x+B2y+C2z+D2=0的交线（见图7-40）,则直线L上的任一点坐标应同时满足这两个平面的方程,即

图7-40一、空间直线方程反之,若点M不在直线L上,显然它不可能同时在平面π1和π2上,所以其坐标必不满足上述方程组.由此可见，直线L可用方程组(7-13)来表示，此方程组就称为空间直线的一般方程.通过空间一直线L的平面有无穷多个，把通过该直线的所有平面的全体称为有轴平面束，简称平面束，直线L称为平面束的轴.只要在平面束中任意选取两个平面，将其方程联立起来，所得方程组就表示空间直线L.一、空间直线方程已知直线的一般方程试求其点向式方程及参数方程.

解首先任求直线上的一点，如令x=1，可得到解得y=-1,z=2，于是点1,-1,2在直线上.设两平面的法向量分别为n1，n2，直线的方向向量为s，则【例3】一、空间直线方程

因此，直线的点向式方程为

令，得所给直线的参数方程为一、空间直线方程设两条不平行的直线与若在L1与L2上分别任取M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)两点，试证明L1与L2的距离为其中s1,s2分别为L1,L2的方向向量.【例4】一、空间直线方程由向量混合积的几何意义可知，的绝对值为以这三个向量为棱的平行六面体的体积，如图7-41所示.证明图7-41一、空间直线方程同时，这个平行六面体的体积V还可表示为高与底面积的乘积，即V=d·s1×s2，从而有由两直线不平行，可知s1×s2≠0，故有二、两直线的夹角及位置关系两直线的夹角1.把两直线的方向向量的夹角φ称为两直线的夹角，由于方向向量有两个方向，这里同样约定设直线L1和L2的方向向量分别为s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，则L1和L2的夹角因此，根据两向量夹角余弦的坐标表示式可得二、两直线的夹角及位置关系已知直线试求这两直线的夹角.

解两直线的方向向量分别为其中n1,n2分别为L2所对应的两平面的法向量.所以两直线的夹角φ满足故两直线的夹角为【例5】二、两直线的夹角及位置关系两直线的位置关系2.设两直线分别为其位置关系有三种情况：平行（包含重合），相交（包含垂直）和异面.首先讨论两直线平行及垂直的条件.由于两直线平行即其方向向量平行，两直线垂直即其方向向量垂直，故可得两直线平行与垂直的充分必要条件分别为：二、两直线的夹角及位置关系

当两直线不平行时，由直线的位置关系知，两直线可能相交，也可能异面.若两直线相交则两直线间的距离为0，异面则两直线间的距离不为0，结合例4可得如下结论：（1）若L1与L2相交，则（2）若L1与L2异面，则其中M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)分别为L1与L2上的任意点，s1和s2分别为L1与L2的方向向量.三、直线与平面直线与平面的夹角1.直线和它在平面上的投影直线间的夹角称为直线与平面的夹角（见图7-42）.图7-42三、直线与平面当直线与平面垂直时,直线在平面上的投影为点，此时规定直线与平面的夹角为注意三、直线与平面设直线的方向向量为s=（

m,n,p,）平面的法向量为n=（A,B,C,）直线与平面的夹角为φ,则，所以.由两向量夹角余弦的坐标表示式,有三、直线与平面设直线，平面π:x-y+2z=3，求直线与平面的夹角.

解直线L的方向向量为s=（2,-1,2,）平面π的法向量为n=（1,-1,2,）则L与π的夹角φ满足因此，L与π的夹角φ为【例6】三、直线与平面直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系有两种情况：相交（包含垂直），平行（包含在平面上）.设直线L的方向向量为s=m,n,p,平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0,其法向量为n=A,B,C,则L与π垂直、平行的充要条件分别为：（1）因为L⊥π相当于直线的方向向量与平面的法向量平行,即

，故有三、直线与平面（2）因为

相当于直线的方向向量与平面的法向量垂直,即s⊥n，故有特别地，直线L在平面π上的充要条件为且对三、直线与平面求过点1,-2,4且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程.

解平面的法向量2,-3,1，由于直线与平面垂直，故平面的法向量可作为所求直线的方向向量，因此，所求直线的方程为【例7】三、直线与平面求过点(-1,0,4)，且平行于平面3x-4y+z-10=0，又与直线相交的直线方程.

解设所求直线方程因为所求直线平行于平面3x-4y+z-10=0，所以3m-4n+p=0.【例8】三、直线与平面又由于所求直线与直线相交，故有即10m-4n-3p=0.

由得故所求直线方程为三、直线与平面平面束方程3.有时应用平面束的方程解题比较方便.下面介绍平面束的方程.在已知直线L的情况下，任取两个过该直线的平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0和π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，即可得其一般方程三、直线与平面现在来考察三元一次方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2y+C2z+D2=0(λ为任意常数），整理可得A1+λA2x+B1+λB2y+C1+λC2z+D1+λD2=0,(7-14)由于π1,π2两平面相交，故系数A1，B1，C1与A2，B2，C2必不完全成比例,所以对任取λ值,上述方程的系数必不全为零,从而这个三元一次方程可表示平面.同时，对于不同的λ值,它对应的平面也不同,而且这些平面显然都通过直线L.反之，通过直线L的所有平面（除平面π2外）都包含在方程(7-14)所表示的一族平面内，于是把方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2y+C2z+D2=0称为过直线L的平面束方程.三、直线与平面设平面外一点（1，-1，0）到这平面的距离为且该平面过直线L：