2019届北京专用高考数学一轮复习第七章不等式第二节一元二次不等式及其解法讲义理

第二节一元二次不等式及其解法总纲目录教材研读1.“三个二次”的关系考点突破2.

(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集考点二一元二次不等式恒成立问题考点一一元二次不等式的解法教材研读1.“三个二次”的关系2.(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集

口诀:大于取两边、小于取中间.1.函数f(x)=

的定义域为

()A.[0,3]

B.(0,3)C.(-∞,0]∪[3,+∞)

D.(-∞,0)∪(3,+∞)A答案

A要使函数f(x)=

有意义,则3x-x2≥0,即x2-3x≤0,解得0≤x≤3.2.不等式

≤0的解集为

(

)A.{x|x<1或x≥3}

B.{x|1≤x≤3}C.{x|1<x≤3}

D.{x|1<x<3}答案

C由

≤0,得

解得1<x≤3.C3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值集合是

()A.{a|0<a<4}

B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}

D.{a|0≤a≤4}D答案

D

a=0时,满足条件;a≠0时,由题意知a>0且Δ=a2-4a≤0,得0<a≤

4,所以0≤a≤4,故选D.4.不等式-x2-3x+4>0的解集为

(-4,1)

.(用区间表示)答案(-4,1)解析不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.5.若不等式ax2+bx+2>0的解集为

,则a+b=

-14

.答案-14解析由题意知x1=-

,x2=

是方程ax2+bx+2=0的两个根,则

解得

(经检验满足题意).∴a+b=-14.考点一一元二次不等式的解法考点突破典例1解下列不等式:(1)19x-3x2≥6;(2)8x-1≤16x2;(3)0<x2-x-2≤4;(4)ax2-(a+1)x+1<0.解析(1)解法一:原不等式可化为3x2-19x+6≤0,函数y=3x2-19x+6的图象开口向上且与x轴有两个交点

和(6,0),所以原不等式的解集为

.解法二:原不等式可化为3x2-19x+6≤0,即(3x-1)(x-6)≤0,所以

(x-6)≤0,所以原不等式的解集为

.(2)8x-1≤16x2⇔16x2-8x+1≥0⇔(4x-1)2≥0,∴对于任意的x∈R,原不等式都成立,∴原不等式的解集为R.(3)原不等式等价于

⇔

⇔

⇔

利用数轴(如图)可知,原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}.

(4)原不等式可变形为(ax-1)(x-1)<0,当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当a≠0时,原不等式可变形为a

(x-1)<0.若a<0,则

(x-1)>0,∴x<

或x>1.若a>0,则

(x-1)<0,∴当a>1时,原不等式的解集为

;当a=1时,原不等式的解集为⌀;当0<a<1时,原不等式的解集为

.综上,当a<0时,原不等式的解集为

;当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};当0<a<1时,原不等式的解集为

;当a=1时,原不等式的解集为⌀;当a>1时,原不等式的解集为

.规律总结1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根

时,不等式解集为R或⌀).(3)求:求出对应的一元二次方程的实根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是

大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与

0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大

小关系,从而确定解集形式.1-1解下列不等式:(1)-4x2+12x-9<0;(2)

≥-1.解析(1)由题知4x2-12x+9>0,变形得(2x-3)2>0,即

>0,∴x≠

,即不等式的解集为

.(2)将原不等式移项通分得

≥0,等价于

所以原不等式的解集为

.典例2已知不等式mx2-2x-m+1<0.是否存在实数m,使对所有的实数x不

等式恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.考点二一元二次不等式恒成立问题命题方向一形如f(x)>0或f(x)<0(x∈R)恒成立,求参数范围解析不存在.理由如下:设f(x)=mx2-2x-m+1.不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下

方.当m=0时,f(x)=1-2x,令1-2x<0,则x>

,不满足题意;当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图象开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解,即

此方程组无解.综上,不存在满足题意的m.典例3已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,

则实数m的取值范围是

.命题方向二形如f(x)>0或f(x)<0(x∈[a,b])恒成立,求参数范围答案

解析要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需

即

解得-

<m<0.典例4对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的

取值范围.命题方向三形如f(x)>0或f(x)<0(参数m∈[a,b])恒成立,求x的范围解析

f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,∴

解得x<1或x>3.故当x<1或x>3时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.方法技巧一元二次不等式恒成立问题的求解思路(1)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈R)的不等式确定参数的范围时,结合一元二次

方程,利用判别式来求解.(2)形如f(x)>0或f(x)<0(x∈[a,b])的不等式确定参数范围时,要根据函数f(x)的单调性,求其最小值(或最大值),使最小值大于0(或最大值小于0),从

而求参数的范围.(3)形如f(x)>0或f(x)<0(参数m∈[a,b])的不等式确定x的范围时,要注意变

换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.2-1不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为

()