备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第六章-§6-2-等差数列

§6.2等差数列第六章

数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母

表示，定义表达式为

.(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，且有A＝______.2同一个常数dan－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝

.(2)前n项和公式：Sn＝

或Sn＝

.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋

(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则

.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为

的等差数列.(n－m)dak＋al＝am＋anmda1＋(n－1)d(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)为等差数列.1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(

)(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值.(

)×√×√1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于A.－2 B.－1 C.1 D.2√∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于A.12 B.8 C.20 D.16√等差数列{an}中，S4

，S8

－S4

，S12

－S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为___.由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋

d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.30第二部分探究核心题型例1

(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，

＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于A.10 B.11 C.12 D.13题型一等差数列基本量的运算√(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3699块

B.3474块C.3402块

D.3339块√设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋

×9＝3402(块).(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.思维升华跟踪训练1

(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)A.一尺五寸

B.二尺五寸C.三尺五寸

D.四尺五寸√由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸.例2

(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.题型二等差数列的判定与证明①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，因为数列{an}的各项均为正数，①②⇒③.已知{an}是等差数列，{}是等差数列.设数列{an}的公差为d，②③⇒①.已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{}的公差为d，d>0，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法.(2)等差中项法.(3)通项公式法.(4)前n项和公式法.跟踪训练2

已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝

，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，∴{cn}是等差数列.(2)若

，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式.∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.①②③④命题点1等差数列项的性质例3

(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且

＝22，则S13等于A.40 B.65 C.80 D.40＋log25题型三等差数列的性质√＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，则S13＝

＝65.a1＋a2＋…(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b2024的值为________.4051令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列.设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2024－b2024＝c2024＝5＋2023×2＝4051.等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质.(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝

相结合.跟踪训练3

(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3 C.4

D.5√∵S15＝30，∴(a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足

＝－2，则下列结论一定成立的是√由

＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，所以a3≠0，

＝－1.命题点2等差数列前n项和的性质例4

(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有

的值为√由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为A.30 B.29 C.28 D.27√∴(n＋1)an＋1＝290.∴an＋1＝290－261＝29.等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练4

(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于A.6 B.10 C.20 D.40√由S4＝20，S5＝30，得a5＝

S5

－S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，

＝6，则S2023等于A.2023 B.－2023C.4046 D.－4046√∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.课时精练第三部分1.首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是12345678910111213141516基础保分练√an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得3<d≤.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S50－S47＝12，则S97等于A.198 B.388 C.776 D.202312345678910111213141516√∵S50－S47＝a48＋a49＋a50＝12，∴a49＝4，3.已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为A.28 B.29C.30 D.3112345678910111213141516√12345678910111213141516设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.123456789101112131415164.天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为A.己丑年

B.己酉年

C.丙寅年

D.甲寅年√12345678910111213141516根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.123456789101112131415165.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使Sn<0的n的最小值为A.30 B.31 C.32

D.33√12345678910111213141516根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若3a5＝7a11，且a1>0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，若Sn<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使Sn<0的n的最小值为31.123456789101112131415166.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

依次成等差数列，则下列结论中一定成立的是A.a，b，c依次成等差数列C.a2，b2，c2依次成等差数列D.a3，b3，c3依次成等差数列√12345678910111213141516整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或

或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形，故A，B，D不一定成立，C一定成立.7.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3＝3S2＋6，则公差d＝____.123456789101112131415162由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝______.123456789101112131415162009.已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值.(1)求{an}的通项公式从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.1234567891011121314151612345678910111213141516选择①作为补充条件：因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*).选择②作为补充条件：因为a5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*).(2)求Sn的最小值.从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.1234567891011121314151612345678910111213141516因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.选择②作为补充条件：由(1)可知a1＝－7，所以Sn＝

＝n2－8n.所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.不可以选择③作为补充条件.10.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；12345678910111213141516∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，∵a1＝8，a4＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.1234567891011121314151612345678910111213141516设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；12345678910111213141516当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，11.已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有A.a10>0 B.S10最小C.S7＝S12

D.S20＝012345678910111213141516√综合提升练12345678910111213141516根据题意，得数列{an}是等差数列，由a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d.又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A不正确；不能确定a1和d的符号，所以不能确定S10最小，故B不正确；得S7＝S12，故C正确；12345678910111213141516因为d≠0，所以S20≠0，故D不正确.12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且

等于12345678910111213141516√13.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.123456789101112131415163n2－2n将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，故它的前n项和为Sn＝n×1＋

×6＝3n2－2n.14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<