北京中考2024东城区数学试卷

北京中考2024东城区数学试卷一、选择题

1.在下列各数中，是正整数的是：

A.1.2

B.-3

C.0

D.3/4

2.若a和b是方程x^2-4x+3=0的两个根，则a+b的值为：

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA=3/5，cosB=4/5，则cosC的值为：

A.1/5

B.3/5

C.4/5

D.1

4.在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），点Q在y轴上，且PQ的长度为5，则点Q的坐标为：

A.（-3，2）

B.（0，2）

C.（3，-2）

D.（0，-2）

5.若函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的最大值为5，则f(x)在区间[-2,1]上的最小值为：

A.1

B.2

C.3

D.4

6.已知等差数列{an}的公差为2，若a1+a3+a5=18，则a1的值为：

A.2

B.4

C.6

D.8

7.在下列各图中，正确表示函数y=x^2+1的是：

A.


B.


C.


D.


8.若等比数列{an}的公比为q，且a1=2，a3=8，则q的值为：

A.2

B.4

C.8

D.16

9.在下列各式中，能正确表示圆的方程的是：

A.x^2+y^2=4

B.x^2+y^2-4x-4y=0

C.x^2+y^2+4x+4y=0

D.x^2+y^2-4x+4y=0

10.若函数y=log2(x+3)在区间[0,3]上的值域为[0,1]，则x的取值范围是：

A.[0,3]

B.[0,2]

C.[2,3]

D.[3,4]

二、判断题

1.在三角形中，若一个内角大于90度，则该三角形是钝角三角形。（）

2.一次函数的图像是一条直线，且这条直线必过原点。（）

3.平行四边形的对角线互相平分。（）

4.在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（a，b），则点P到x轴的距离等于b的绝对值。（）

5.等差数列中任意两项的差是常数，这个常数就是等差数列的公差。（）

三、填空题

1.若等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项an的值为______。

2.在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为______。

3.函数f(x)=x^2-4x+4在x=______时取得最小值。

4.若等比数列{an}的第一项为4，公比为1/2，则第5项an的值为______。

5.在三角形ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，且a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是______三角形。

四、简答题

1.简述一次函数的图像特征及其与系数的关系。

2.如何利用勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形？

3.请说明等差数列和等比数列的定义，并举例说明。

4.在平面直角坐标系中，如何求解点到直线的距离？

5.请解释函数的单调性，并举例说明如何判断一个函数在某个区间上的单调性。

五、计算题

1.已知等差数列{an}的前三项分别为a1=1，a2=4，a3=7，求该数列的公差d和第10项a10的值。

2.在直角坐标系中，点A（-2，3），B（4，-1），C（x，y）构成一个直角三角形，且∠ABC=90°，求点C的坐标。

3.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x-3y=8\\

5x+4y=-2

\end{cases}

\]

4.函数f(x)=3x^2-12x+9在区间[0,4]上的最大值是多少？请说明解题过程。

5.一个等比数列的前三项分别为2，6，18，求该数列的第四项。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校计划在校园内种植树木，规划种植的树木数量为40棵，树木的种植方式为等差数列，且第一棵树种植在校园入口处，最后一棵树种植在校园出口处。已知校园入口处到校园出口处的距离为120米，每棵树之间的间隔为等差数列的公差。

案例分析：

（1）若每棵树之间的间隔为等差数列的第一项，求该数列的公差。

（2）若每棵树之间的间隔为等差数列的公差的一半，求该数列的公差。

2.案例背景：某班级进行数学竞赛，共有30名学生参加。竞赛分为两轮，第一轮共有10道选择题，每题2分；第二轮共有5道填空题，每题4分。已知在第一轮中，平均分是每题1.5分；在第二轮中，平均分是每题3分。求该班级在数学竞赛中的总分。

案例分析：

（1）计算该班级在第一轮中的总分。

（2）计算该班级在第二轮中的总分。

（3）计算该班级在数学竞赛中的总分。

七、应用题

1.应用题：某工厂计划在三个月内生产一批产品，由于市场需求的变化，第一个月生产了80件，第二个月生产了90件，如果接下来的每个月都比上个月多生产10件，那么第五个月生产了多少件产品？

2.应用题：一个长方形的长是宽的两倍，长方形的周长是60厘米。求这个长方形的面积。

3.应用题：一个班级有学生50人，如果每增加5人，班级的平均成绩就会提高1分。已知班级的平均成绩是75分，求增加多少名学生后，班级的平均成绩会达到80分。

4.应用题：小明参加了一个数学竞赛，他在前10道题中每答对一题得10分，答错不扣分。他答对了7题，剩下的题要么答对要么答错。如果小明想要至少得到80分，他最多可以答错多少题？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.A

3.B

4.B

5.A

6.B

7.A

8.B

9.A

10.A

二、判断题答案：

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.2，19

2.（-2，-3）

3.2

4.54

5.等腰直角

四、简答题答案：

1.一次函数的图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点位置。当k>0时，直线向上倾斜；k<0时，直线向下倾斜；k=0时，直线水平。b>0时，直线在y轴上方；b<0时，直线在y轴下方；b=0时，直线通过原点。

2.利用勾股定理，若三角形ABC中，a、b、c分别为三边，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是直角三角形，其中c为斜边。

3.等差数列：数列中任意两项的差是常数，这个常数称为公差。例如，1，4，7，10...是等差数列，公差为3。等比数列：数列中任意两项的比是常数，这个常数称为公比。例如，2，6，18，54...是等比数列，公比为3。

4.在平面直角坐标系中，点P（x1，y1）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)。

5.函数的单调性是指函数在其定义域内，随着自变量的增加或减少，函数值是增加还是减少。若函数在其定义域内，随着自变量的增加，函数值也增加，则称该函数为增函数；若随着自变量的增加，函数值减少，则称该函数为减函数。

五、计算题答案：

1.公差d=a2-a1=4-1=3，第10项a10=a1+(10-1)d=1+9*3=28。

2.设长方形的长为2x，宽为x，则2x+2x+x=60，解得x=10，长方形的长为20，宽为10，面积为20*10=200平方厘米。

3.设增加的学生数为x，则平均成绩提高x分，根据题意有75+x=80，解得x=5，增加5名学生后，平均成绩达到80分。

4.小明答对的分数为7*10=70分，要至少得到80分，他最多可以答错10分，即答错1题。

七、应用题答案：

1.第五个月生产的件数为80+(5-1)*10=90件。

2.设长方形的长为2x，宽为x，则2x+2x+x=60，解得x=10，长方形的面积是2x*x=200平方厘米。

3.设增加的学生数为x，则平均成绩提高x分，根据题意有75+x=80，解得x=5，增加5名学生后，平均成绩达到80分。

4.小明答对的分数为7*10=70分，要至少得到80分，他最多可以答错10分，即答错1题。

知识点总结：

本试卷涵盖的知识点包括：

1.数列：等差数列、等比数列的定义和性质。

2.函数：一次函数、二次函数的定义、图像和性质。

3.解三角形：勾股定理的应用。

4.直线方程：点到直线的距离公式。

5.应用题：实际问题中的数学模型建立和求解。

各题型知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，如数列、函数、几何图形等。

2.判断题：考察学生对基本概念和性质的记忆和判断能力。

3.填空题：考察学