2024高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节曲线与方程学案含解析新人教B版

PAGE1-第八节曲线与方程最新考纲考情分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法探讨几何问题的基本方法．3．能够依据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.曲线与方程一般在客观题中主要考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程，以考查待定系数法和定义法为主；在主观题中往往仅作为某一问的形式出现，重点结合圆锥曲线的其他性质进行综合考查.学问点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，假如某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．学问点二求动点的轨迹方程的基本步骤1．思索辨析推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(×)(2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(×)(3)方程y＝eq\r(x)与x＝y2表示同一曲线．(×)2．小题热身(1)若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满意eq\o(PM,\s\up16(→))·eq\o(PN,\s\up16(→))＝0，则P点的轨迹是(A)A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线(2)平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的轨迹是(D)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．一条直线(3)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满意|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是(A)A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：设P点的坐标为(x，y)，则eq\r(x－12＋y＋22)＝3eq\r(x2＋y2)，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.(4)已知F是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是x2＝2y－1.解析：因为抛物线x2＝4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x，y)，则P(2x,2y－1)在抛物线x2＝4y上，所以(2x)2＝4(2y－1)，化简得x2＝2y－1.(5)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是2x－y＋5＝0.解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)则P(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.考点一干脆法求轨迹方程【例1】已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2eq\r(2))，定点P(1,1)．(1)求△ABC外接圆的标准方程；(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF的中点的轨迹方程．【解】(1)由题意得AC的中点坐标为(0，eq\r(2))，AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，kAC＝eq\r(2)，kAB＝1，故AC的中垂线的斜率为－eq\f(\r(2),2)，AB的中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y－eq\r(2)＝－eq\f(\r(2),2)x，AB的中垂线的方程为y－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y－\r(2)＝－\f(\r(2),2)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))∴△ABC的外接圆圆心为(2,0)，半径r＝2＋1＝3，故△ABC外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)设弦EF的中点为M(x，y)，△ABC外接圆的圆心为N，则N(2,0)，由MN⊥MP，得eq\o(NM,\s\up16(→))·eq\o(PM,\s\up16(→))＝0，∴(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0，故弦EF的中点的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2).方法技巧(1)若曲线上的动点满意的条件是一些几何量的等量关系，则可用干脆法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要留意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．1．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且eq\o(QP,\s\up16(→))·eq\o(QF,\s\up16(→))＝eq\o(FP,\s\up16(→))·eq\o(FQ,\s\up16(→))，则动点P的轨迹C的方程为(A)A．x2＝4y B．y2＝3xC．x2＝2y D．y2＝4x解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵eq\o(QP,\s\up16(→))·eq\o(QF,\s\up16(→))＝eq\o(FP,\s\up16(→))·eq\o(FQ,\s\up16(→))，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.2．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－eq\f(1,3).则动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠1)．解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得eq\f(y－1,x＋1)·eq\f(y＋1,x－1)＝－eq\f(1,3)，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．考点二定义法求轨迹方程【例2】(1)△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________．【解析】(1)如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.依据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．(2)因为圆P与圆M外切且与圆N内切，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．【答案】(1)eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)(2)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键1适用条件,动点与定点、定直线之间的某些关系满意直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.2关键,定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征.1．(2024·湖北黄冈模拟)设D为椭圆x2＋eq\f(y2,5)＝1上随意一点，A(0，－2)，B(0,2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为(B)A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y＋2)2＝20C．x2＋(y－2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析：∵D为椭圆x2＋eq\f(y2,5)＝1上一点，且易知A、B为椭圆的焦点，∴|DA|＋|DB|＝2a＝2eq\r(5).又|PD|＝|BD|，∴|PA|＝|PD|＋|DA|＝2eq\r(5)，∴P的轨迹方程为x2＋(y＋2)2＝(2eq\r(5))2＝20.故选B.2．(2024·豫北名校联盟联考)已知△ABC中，AB＝2，且sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0，以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则动点C的轨迹方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(x≠0)．解析：在△ABC中，由sinA(1－2cosB)＋sinB(1－2cosA)＝0得sinA＋sinB＝2sin(A＋B)＝2sinC，由正弦定理得eq\f(|BC|,2R)＋eq\f(|AC|,2R)＝2·eq\f(|AB|,2R)(R为△ABC外接圆半径)，可得|CB|＋|CA|＝2|AB|>|AB|.∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故点C的轨迹方程为eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1(x≠0)．考点三相关点(代入法)求轨迹方程【例3】已知M为椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的动点，过点M作x轴的垂线MD，D为垂足，点P满意eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(MD,\s\up16(→))，求动点P的轨迹E的方程．【解】(1)设P(x，y)，y≠0，M(m，n)，则D(m,0)，∵eq\o(PD,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(MD,\s\up16(→))，∴(m－x，－y)＝eq\f(5,3)(0，－n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－x＝0，,－y＝－\f(5,3)n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝x，,n＝\f(3,5)y.))又∵M(m，n)为椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)y))2,9)＝1，即x2＋y2＝25，∴动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)．方法技巧1可以用“相关点法”求轨迹方程所满意的条件：①某个动点P在已知方程的曲线上移动；②另一个动点M随P的改变而改变；③在改变过程中，P和M满意肯定的规律.2“相关点法”求轨迹方程的基本步骤：将所求动点P的坐标设为x，y，另一已知动点Q的坐标设为x0，y0，再找寻P，Q之间的关系，把x0，y0分别用x，y表示出来，然后代入点Q满意的方程即得所求.已知点H(0，－8)，点P在x轴上，动点F满意PF⊥PH，且PF与y轴交于点Q，Q是线段PF的中点．(1)求动点F的轨迹E的方程；(2)点D是直线l：x－y－2＝0上随意一点，过点D作E的两条切线，切点分别为A，B，证明：直线AB过定点．解：(1)设F(x，y)，y≠0，P(m,0)，Q(0，n)，则eq\o(PH,\s\up16(→))＝(－m，－8)，eq\o(PQ,\s\up16(→))＝(－m，n)，∵PF⊥PH，∴m2－8n＝0，即m2＝8n，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋x,2)＝0，,\f(0＋y,2)＝n，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－x，,n＝\f(y,2)，))代入m2＝8n，得x2＝4y(y≠0)