2025年春新湘教版数学七年级下册课件 第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.2 完全平方公式

完全平方公式湘教版·七年级数学下册①复习导入

同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？(x+3)2=______________________，(x-3)2=_______________________,(x+3)(x+3)=x2+6x+9(x-3)(x-3)=x2-6x+9这些式子的左边和右边有什么规律?(2m+3n)2=________________________________,(2m-3n)2=______________________________.(2m+3n)(2m+3n)=4m2+12mn+9n2(2m-3n)(2m-3n)=4m2-12mn+9n2探究新知计算:

(x+y)2由多项式与多项式相乘的法则可得(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+yx+y2=x2+2xy+y2得到完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2即多项式x+y的平方等于x与y的平方加上x与y的积的2倍(x+y)2=

x2+2xy+y2若将完全平方公式1中的y用-y代替，则可得(x-y)2=x2+2x·(-y)

+(-y)2=x2-2xy+y2得到完全平方公式2：(x-y)2=x2-2xy+y2即多项式x-y的平方等于x与y的平方减去x与y的积的2倍(x+y)2=x2+2xy+y2设a,b都是正数，将完全平方公式1、2中的x用a代入，y用b代入可得(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.

公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。

(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b24.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.1.积为二次三项式.2.首项、末项为两数的平方和.3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.如图，把一个边长为a＋b

的正方形分割成4部分，观察图形的面积你能发现什么？(a+b)2

a2+ab+ab+b2分割前的面积分割后的面积abb2a2ab(a+b)2=a2+2ab+b2几何背景分析运用完全平方公式计算(1)解:将完全平方公式1中的x用a代入，y用代入,可得（2）(3m+n)2;

(3m+n)2=(3m)2+2·3m·n+n2=9m2+6mn+n2解:将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入,可得（3）(2x-3y)2

(2x-3y)2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=4x2–12xy+9y2解:将完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入,可得填表(2a+b)2(5a-4b)22ab4a2+4ab+b25a4b25a2-40ab+16b2请你阅读课本“说一说”至““例5”的内容。思考:当底数互为相反数时，完全平方的结果有什么关系?1.算一算(1)(a-b)2=_________；(b-a)2=_________(2)(a+b)2=_________；(-a-b)2=_________比较每一组算式中的两个等式,等号左边的底数有什么关系?结果有什么关系?2.比一比等号左边的底数互为相反数，右边的结果相等。a2-2ab+b2b2-2ab+a2a2+2ab+b2a2+2ab+b2怎样计算解法一：解法二：计算(1)1042(2)1982解：由于1042=(100+4)2运用完全平方公式1得1042=(100+4)2=1002+2×100×4+42=10000+800+16=10816解：由于1982=(200-2)2运用完全平方公式2得1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40000-800+4=392041.运用完全平方公式计算：(1)(2x+3)2(2)解：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9[教材P19练习第1题](3)(5x-2y)2(4)(-4a-3b)2解：(5x-2y)2=(5x)2-2·5x·

2y+(2y)2=25x2-20xy+4y2(-4a-3b)2=(-4a)2-2·(-4a)·3b+(3b)2=16a2+24ab+9b22.计算：[教材P19练习第2题](1)1032(2)29721032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10000+600+9=10609解：2972=(300-3)2=3002-2×300×3+32=90000-1800+9=882093.试利用右图解释(a-b)2=a2-2ab+b2[教材P19练习第3题]abbab2由图可知把一个边长为a

的正方形分割成4部分则(a-b)2为图中黄色部分的面积黄色部分的面积=总面积-红色部分的面积-蓝色部分的面积可得:(a-b)2=a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+2b2-b2=a2-2ab+b2所以(a-b)2=a2-2ab+b2解：随堂练习1.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(

x＋2

)

2＝

x2＋4；（2）(－a－b

)2＝a2－2ab＋b2

.解：（1）不对，应为(

x＋2

)

2＝

x2＋4x+4；（2）不对，应为(－a－b

)2＝(a+b)2=a2＋2ab＋b2

.2．运用完全平方公式计算：（1）(x＋4)2；（2）(2a－3)2；（3）(5m-)2解：（1）(x＋4)2

=

x2+8x+16（2）(2a－3)2

=

(2a)2-2·2a·3+32=4a2-12a+9（3）(5m-)2=(5m)2-2·5m·+()2=25m2-5m+3.填空题：(x+3y)2=_____________;x2+6xy+9y2________=y2–y+;(y

–)2

(______)2=9a2-______+16b2;3a-4b24abx2+10x+____=(x+_____)2;255(-x-y)_______=x2+2xy+y2.(-x-y)4.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（）

A.(a+b)(a+c)B.(x+y)(－y+x)C.(ab－3x)(－3x+ab)D.(－m－n)(m-n)C5.计算：(x

–2y)2

（2）(2xy

+x)2

（1）解：原式=(