人教版九年级数学下册章节专题教学课件合集共20套

人教版九年级数学下册章节专题教学课件合集共20套专题一

本章易错点例析

1.在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，DE＝10.(1)当△DEF∽△ABC时，求EF，FD的长；(2)当△FDE∽△ABC时，求EF，FD的长.

易错点2.用错“相似三角形面积的比等于相似比的平方”【例2】如图Z27－1－2，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是（

）A．1∶25

B.1∶4C．1∶5

D.1∶24错解：D.

2.如图Z27－1－3，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，求四边形DBCE的面积.

易错点3.忽略分类讨论导致漏解【例3】如图Z27－1－4，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长是多少？

3.如图Z27－1－5，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当△BOC和△AOB相似时，求点C的坐标.解：∵点C在x轴上，∴∠BOC＝90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA＝90°对应.专题三

中考新题型【考情讲述】近三年广东省、深圳市均将与相似知识有关的综合题作为重点解答题或最后一道压轴题，且还考查了其他与相似相关题目，广州市也是多题考查.纵观近年来广东与全国命题趋势发现，有关相似应用题的考查有所淡化，而相似综合题的考查则加重加难了.在今年的中考备考时，需强化相似知识的复习，积累经验，努力提高综合解题能力，借以适应这种形势的变化.【中考真题】1.(2022·广东)如图Z27－3－1，抛物线y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q.(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标.

2.(2022·锦州)如图Z27－3－2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F.若AB＝6，则△AEF的面积为______.33.(2022·阜新)如图Z27－3－3，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F.若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是______.27

A

A6.（2020·广州）如图Z27－3－4，在正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F.若AE＝4，则EF·ED的值为______．16

10.（2021·广东）如图Z27－3－6，在边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．

11.(2022·深圳)(1)发现：如图Z27－3－7①，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于点G.求证：△BFG≌△BCG；(2)探究：如图Z27－3－7②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长；(3)拓展：如图Z27－3－7③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长.(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形，∴AB＝BF，∠BFE＝∠A＝90°.∴∠BFG＝90°＝∠C.∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL).

专题二

本章重难点一、相似三角形的判定与性质【例1】（2021·哈尔滨）如图Z27－2－1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为()A.3

B.4C.5

D.6B

B

C

A【例4】（2021·滨州）如图Z27－2－7，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．求证：（1）AD平分∠BAC；（2）DF2＝EF·AB.证明：（1）如答图Z27－2－1，连接OD.∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，∴∠ODE＝∠DEA＝90°.∴OD∥AC.∴∠ODA＝∠DAC.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∴∠DAC＝∠OAD.∴AD平分∠BAC.

4.(2022·遂宁改编)如图Z27－2－8，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.求证：(1)PD是⊙O的切线；(2)AB·CP＝BD·DC.证明：(1)如答图Z27－2－2，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∴BD＝CD.∴∠BOD＝∠COD＝90°.∵BC∥PD，∴∠ODP＝∠BOD＝90°.∴OD⊥PD.∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.

二、相似三角形的应用【例5】（2021·盘锦）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图Z27－2－9获得，设井深为x尺，所列方程正确的是(

)A

A【对点训练】

5.(2022·德州)如图Z27－2－11，把一根长为4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1m处离地面的高度为0.6m，则石坝的高度为()A.2.7m

B.3.6mC.2.8m

D.2.1mA6.(2022·广西)古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图Z27－2－12，木杆EF长2m，它的影长FD是4m，同一时刻测得OA是268m，则金字塔的高度BO是______m.134三、位似【例7】(2022·重庆)如图Z27－2－13，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是()A.1∶2

B.1∶4C.1∶3

D.1∶9A

D8.（2021·黔东南）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A（2,1），B（2,0），O（0,0）.若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为____________________________________.（4,2）或（－4，－2）专题五

课标新导向1.(RJ九下P58复习题11)如图Z27－5－1，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？解：∵四边形EGHF为正方形，∴BC∥EF.∴△AEF∽△ABC.设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝xmm，AK＝(80－x)mm.∵AD⊥BC，∴

即

解得x＝48.答：这个正方形零件的边长是48mm.2.(母题变式)一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件如图Z27－5－2所示，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.(1)求证：△AEF∽△ABC；(2)当EG宽为多少毫米时，矩形有最大面积，最大面积是多少？(1)证明：∵四边形EGHF是矩形，∴EF∥BC.∴△AEF∽△ABC.

3.(跨学科与物理融合)如图Z27－5－3①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r.这就是光的反射定律.【问题解决】如图Z27－5－3②,小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，木板到墙的水平距离为CD＝4m.图中点A，B，C，D在同一条直线上.(1)求BC的长；(2)求灯泡到地面的高度AG.解：(1)由题意可得FC∥DE，则△BFC∽△BED.∴

即

解得BC＝3.答：BC的长为3m.(2)∵AC＝5.4m，∴AB＝AC－BC＝5.4－3＝2.4(m).∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA.又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC.∴

即

解得AG＝1.2.答：灯泡到地面的高度AG为1.2m.4.(跨学科与化学融合)如图Z27－5－4是实验室里两个盛着浓度都为10g/100mLNaCl溶液的烧杯，若给甲烧杯中加入4gNaCl晶体(体积忽略不计)，要使两个烧杯中溶液的浓度相等，需要给乙烧杯中加入多少克NaCl晶体？

5.(代数与传统文化)北京紫禁城是中国古代汉族宫廷建筑之精华.经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD(北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁)与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形.若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于9∶5，取“九五至尊”之意(如图Z27－5－5）.根据测量数据，三大殿台基的宽为40丈，请你估算三大殿宫院的宽为______丈.726.(几何与传统文化)唐代的《海岛算经》中有这样一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合.从后表却一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何.大意是：为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处竖立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D，F两处相隔1000步(1丈＝10尺，1步＝6尺)，并且AB，CD和EF在同一平面内(如图Z27－5－6）.从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退127步的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上，则山峰的高度AB为_________步.12557.(推理能力)如图Z27－5－7，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第一象限内，将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍，得到矩形OA1B1C1，再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形OA2B2C2,…，以此类推，得到的矩形OAnBnCn的对角线交点的坐标为____________.(2n，2n－1)

专题四

模型拓展——四大相似模型类型一：X字型（8字型）——有对顶角(1)已知：AB∥CD，基本结论：△AOB∽△DOC.(2)已知：∠A＝∠D或∠B＝∠C，基本结论：△AOB∽△DOC.

2．如图Z27－4－2，已知∠B＝∠C，OA＝4，OD＝3，OC＝8，求OB的长.

类型二：A字型——有公共角(1)已知：DE∥BC，基本结论：△ADE∽△ABC.(2)已知：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，基本结论：△ADE∽△ACB.(3)已知：∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，基本结论：△ACD∽△ABC.3.如图Z27－4－3,在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝4，求BC的长.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴又∵AD＝3，AB＝5，DE＝4，∴∴4.如图Z27－4－4，已知D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，∠AED＝∠C，AE＝5，AC＝9，DE＝6．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求BC的长．（1）证明：∵∠AED＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.

5.如图Z27－4－5，D是AB的中点，且AD＝2，∠ADC＝∠ACB.(1)求证：△ABC∽△ACD；(2)求AC的值.(1)证明：∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD.

类型三：双垂直型（射影定理）已知:在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，基本结论：△ACD∽△CBD∽△ABC.6．如图Z27－4－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）若AC＝4，BC＝3，求BD的长．（1）证明:∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ACB＝∠CDB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD.

类型四：K字型——一线三等角（直线同侧有三个相等的角）已知：∠A＝∠B＝∠DPC，基本结论：△APD∽△BCP.7.如图Z27－4－7，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，且AE⊥DE.(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长.(1)证明：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°.∴∠AEB＋∠CED＝90°.∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CED.∴△ABE∽△ECD.

章节复习课本章知识梳理目录01课程标准02知识导航1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比.3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.课程标准4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明.5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.知识导航专题一

本章易错点例析易错点1.混淆平行投影和中心投影【例1】如图Z29－1－1，小赵和路人在路灯下行走，试画出小赵在灯光下的影子.错解：如图Z29－1－2.错解分析：画物体的影子时，关键是确定光源的位置，然后根据光线的传播特点，正确画出所需物体的影子.此解法把中心投影与平行投影相混淆.正解：如图Z29－1－3，线段BC即为所求.1.如图Z29－1－4是甲、乙两根木杆在同一时刻的影子.(1)请在图中画出形成木杆影子的光线，并指出它们是平行投影还是中心投影；(2)若是路灯的光线，请找出路灯灯泡的位置；(3)请画出图中木杆丙的影子.

解：(1)如答图Z29－1－1，它们是中心投影.(2)如答图Z29－1－1，点O即为所求.(3)如答图Z29－1－1，线段AB即为所求.易错点2.画物体的三视图时，对虚实线用法不清晰【例2】如图Z29－1－5所示的正三棱柱的主视图是(

)错解：C.错解分析：画物体的三视图时，看得见部分的轮廓线要画成实线，存在但看不到的轮廓线要画成虚线，否则会产生错误视图.正解：B.2.如图Z29－1－6是一个正方体沿正面两条棱的中点连线截去一个直三棱柱后的示意图，则该几何体左视图是（）B专题三

课标新导向1.（RJ九下P101习题2）画出图Z29－3－1中几何体的三视图.解：如答图Z29－3－1.2.（母题变式）画出图Z29－3－2中几何体的三视图.解：如答图Z29－3－2.3.（跨学科与物理融合）已知一个模型的三视图如图Z29－3－3所示.（单位：m）（1）若制作这个模型的木料密度为360kg/m3，则这个模型的质量是多少千克？（质量＝密度×体积）（2）如果油漆这个模型，每千克油漆可以漆4m2，需要油漆多少千克？解：（1）模型的体积＝6×6×3＋2.5×2×2.5＝120.5（m3），模型的质量＝120.5×360＝43380（kg）.（2）模型的表面积＝2×2.5×2＋2.5×2.5×2＋4×6×3＋2×6×6＝166.5（m2），需要油漆：166.5÷4＝41.625（kg）.4.（跨学科与化学融合）如图Z29－3－4，漏斗是化学实验室中常见的一种仪器，从上面看该漏斗的形状图为（）B5.（几何与传统文化）如图Z29－3－5，“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中.”这是宋代诗人苏轼的著名诗句（《题西林壁》）.其“横看成岭侧成峰”中所含的数学道理是_____________________________________________________.从不同的方向观察同一物体时，看到的图形不一样6.（几何与传统文化）中国古代数学瑰宝《九章算术（第五卷）·商功》中有这样一道趣题：“今有堑堵，下广二丈，裘一十八丈六尺；高二丈五尺，问积几何？”意思是：今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺（1丈＝10尺），其三视图如图Z29－3－6所示，则它的体积是（）A.25500立方尺B.46500立方尺C.34300立方尺D.48100立方尺B7.（推理能力）用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图Z29－3－7所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：（1）a＝______，b＝______，c＝______；311（2）求这个几何体最少由几个小立方体搭成，最多由几个小立方体搭成；（3）当d＝2，e＝1，f＝2时，画出这个几何体的左视图.解：（2）若d，e，f处，有一处为2个小立方体，其余两处各有1个小立方体，则该几何体最少由9个小立方体搭成；若d，e，f处，各有2个小立方体，则该几何体最多由11个小立方体搭成.（3）当d＝2，e＝1，f＝2时，这个几何体的左视图如答图Z29－3－3.8.（推理能力）制作一个有趣的三用塞子.如图Z29－3－8，木板上有三个孔，孔的形状分别是圆形、倒T型和正方形.怎样制作一个有趣的三用塞子，使得这个塞子能够堵住每一个孔并且能通过每一个孔？（1）若只有其中的第一个孔，塞子可以是什么形状？（2）若只有其中的第一个和第三个孔，塞子可以是什么形状？（3）画出一个可以同时堵住三个孔的立体图形（示意图）．解：（1）用三视图中有圆的几何体，塞子可以是球或圆柱.（答案不唯一）（2）用三视图中有圆和正方形的几何体，塞子可以是圆柱.（答案不唯一）（3）如答图Z29－3－4.

专题二

本章重难点一、三视图的识别【例1】（2022·德州）如图Z29－2－1所示几何体的俯视图为（）C【例2】（2021·德州）如图Z29－2－2所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（）A．左视图和俯视图相同B．三个视图都不相同C．主视图和左视图相同D．主视图和俯视图相同C【对点训练】1.（2022·安顺）某几何体如图Z29－2－3所示，它的俯视图是（）D2.（2022·贵港）一个圆锥如图Z29－2－4所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图与俯视图相同B.主视图与左视图相同C.左视图与俯视图相同D.三个视图完全相同B二、三视图的画法【例3】如图Z29－2－5是由六块大小相同的小正方体搭成的几何体.（1）请在方格中画出该几何体从正面、左面、上面所看到的形状图；（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______块小正方体.1解：（1）如答图Z29－2－1.【对点训练】3.（中考改编）如图Z29－2－6是由13个完全相同的小正方体搭成的物体．（1）请在方格图中分别画出该物体的左视图和俯视图；（2）在保持物体左视图和俯视图不变的情况下，图中的小正方体最多可以拿走______个．解：（1）如答图Z29－2－2.4三、由三视图判断几何体的形状【例4】（2022·云南）如图Z29－2－7是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（）A.三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥C【对点训练】4.（2022·黑龙江）如图Z29－2－8是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图，这个几何体是（）A四、根据三视图计算几何体的面积或体积【例5】（2020·德阳）如图Z29－2－9是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（）A.20π

B.18πC.16π

D.14πB【对点训练】5.（2021·菏泽）如图Z29－2－10是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A．12πB．18πC．24πD．30πB五、根据三视图确定物体的个数【例6】桌子上重叠摆放了若干枚面值为1元的硬币，它的三种视图如图Z29－2－11所示，则桌上共有1元硬币的数量为（）A．12枚

B．11枚C．9枚

D．7枚B【例7】（2022·齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯视图都是如图Z29－2－12所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的个数最少为（）A.4个

B.5个C.6个

D.7个C【对点训练】6.（2021·日照）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图Z29－2－13所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（）A．10个

B．12个C．14个

D．18个B7.（2021·齐齐哈尔）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图Z29－2－14所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（）A.7个

B.8个C.9个

D.10个A章节复习课本章知识梳理目录01课程标准02知识导航1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.3.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型.4.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.课程标准知识导航专题一

本章易错点例析

C

2.如图Z28－1－2，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，求sinB的值.

①如答图Z28－1－2①,∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝45°＋30°＝75°；②如答图Z28－1－2②,∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝45°－30°＝15°.综上所述,∠BAC的度数为75°或15°.易错点4.对仰角、俯角、方向角、坡比等概念理解不透彻导致错误【例4】如图Z28－1－3是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m，斜面坡度为1∶2，求斜坡AB的长.

4.如图Z28－1－4，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡AD的坡比为4∶3，背水坡BC的坡比为1∶2，大坝的高为20m，坝顶CD的宽为10m.求大坝横截面的周长.

专题三

中考新题型【考情讲述】往年广东中考一般是考查特殊角的三角函数值与“仰角、俯角、方向角或坡度”有关的实际应用，而近两年的中考题除了考查特殊角的三角函数值，还重点考查了根据三角函数的定义解简单的直角三角形.2022年广东中考只有一道涉及30°角正弦值的填空题，从近三年的命题趋势看，弱化了本章知识的考查.

解：（1）如答图Z28－3－1，连接BD.∴BD＝CD.∵AB＝CE，∴△ABD的周长为AB＋AD＋BD＝CE＋AD＋DC＝AE＝1.

3.(2020·湘潭)计算：sin45°＝______.4.(2022·广东)sin30°＝______.5.（2021·深圳）如图Z28－3－3，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15m到达点E（即EF＝15m），在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为()A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°C

C7.(2022·广州)如图Z28－3－5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6.(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值.解：(1)如答图Z28－3－2.

8.(创新变式)如图Z28－3－6，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°.(1)在AB边上求作点D，连接CD，使得∠CDB＝2∠A(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，当AB＝10，BC＝6时，求sin∠CDB的值.

9.（2020·广东）如图Z28－3－7①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．（1）求证：直线CD与⊙O相切；（2）如图Z28－3－7②，记（1）中的切点为E，P为ABE上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．

（2）解：如答图Z28－3－6，过点D作DF⊥BC于点F，连接BE，则四边形ABFD是矩形.∴AB＝DF，BF＝AD＝1.∴CF＝BC－BF＝2－1＝1.∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB.∴AD，BC是⊙O的切线.由（1）得,CD是⊙O的切线.∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2.∴CD＝ED＋EC＝3.

10.（中考改编）如图Z28－3－8，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，以AB为直径的⊙O交AC于点E，延长DE交BC于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OA＝4，CF＝3，求cos∠DAE的值．（1）证明：如答图Z28－3－7，连接OE.∵AC平分∠DAB，∴∠DAE＝∠OAE.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE.∴∠DAE＝∠OEA.∴AD∥OE.∴∠ADE＋∠DEO＝180°.∵∠ADE＝90°，∴∠DEO＝90°，即OE⊥DF.∵OE过圆心O，∴DF是⊙O的切线.

专题二

本章重难点

解：原式＝1－2×1＋2＋3＝1－2＋2＋3＝4.

解：原式＝3－2×1＋1－1＝3－2＋1－1＝1.

(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD－ED＝BC－BF，即AE＝FC.∴四边形AFCE是平行四边形.

(1)证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形.又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形.

(1)证明：如答图Z28－2－1，连接OE.∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC＝2∠OAE.∵∠FOE＝2∠OAE，∴∠FOE＝∠BAC.∴OE∥AB.∵∠B＝90°，∴OE⊥BC.又∵OE是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线.

(1)证明：如答图Z28－2－2，连接OD.∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE.∵∠AOB＝90°，∴∠A＋∠ABO＝90°.又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODB＋∠BDE＝90°，即OD⊥EC.∵OD是半径，∴CD是⊙O的切线.

专题四

课标新导向1.(RJ九下P76练习1)如图Z28－4－1，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）

2.(母题变式)(2022·大连)如图Z28－4－2，莲花山是大连著名的景点之一.游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是1m/s.小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角约为30°，测得白塔顶部C的仰角约为37°，索道车从A处运行到B处所用时间约为5min.

300

3.(跨学科与物理融合)(2022·泰州)小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图Z28－4－3，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？(结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.67，tan56°≈1.48)解：如答图Z28－4－1，连接MC，过点M作HM⊥NM.由题意，得∠DMC＝2∠CMH，∠MCD＝∠HMN＝90°，AB＝MC＝8m，AB∥MC，∴∠CMN＝180°－∠MNB＝180°－118°＝62°.∴∠CMH＝∠HMN－∠CMN＝28°.∴∠DMC＝2∠CMH＝56°.在Rt△CMD中，CD＝CM·tan56°≈8×1.48≈11.8(m).∴能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD约为11.8m.4.(跨学科与化学融合)在一次化学实验课上，甲杯装满Ca(OH)2溶液，乙杯空着.现在老师把甲杯中的溶液全部倒入乙杯中，如图Z28－4－4所示.已知这两个圆柱形杯高度相等且底面直径之比为1∶2，请你求出图中点P与乙杯中液面之间的距离.

5.(几何与传统文化)(2022·绍兴)圭表(如图Z28－4－5①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图Z28－4－5②是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，

解：(1)∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝47°.

6.(几何与传统文化)桔棉，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图Z28－4－6是《天工开物·水利》中的桔棉图，若竹竿A，B两处的距离为12m，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB与绳子的夹角为53°，求绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离.(忽略提水时竹竿产生的形变)(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)

7.(实践探究)共享单车为大众出行提供了方便，图Z28－4－7①为单车实物图，图Z28－4－7②为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为0.3m，BE＝0.4m．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长．

8.(实践探究)（中考改编）如图Z28－4－8①是某车站的一组智能通道闸机，图Z28－4－8②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝20°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离.（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）解：如答图Z28－4－5，连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于点M，N.由点A，D在同一条水平线上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，∴MN的长度就是BC与EF之间的距离.由两圆弧翼成轴对称，得AM＝DN.在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝20°，AB＝60cm,∴AM＝AB·sin∠ABM＝60·sin20°≈60×0.34＝20.4（cm）.∴MN＝AM＋DN＋AD＝2AM＋AD＝2×20.4＋10＝50.8（cm）.答：BC与EF之间的距离约为50.8cm．章节复习课本章知识梳理目录01课程标准02知识导航1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值.2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.课程标准知识导航专题一

本章易错点例析

1.函数y＝(m－2)x3－m2是反比例函数，则m的值是多少？解：∵y＝(m－2)x3－m2是反比例函数，∴3－m2＝－1且m－2≠0.解得m＝－2.∴m的值为－2.

2.已知y－2与x成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y与x之间的函数关系式．

错解分析：只注重根据图形面积找到k值的大小，而忽略由图象所在的象限去决定k值的符号，从而错误地选C.∵S△AOB＝5,∴k＝10.∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴k＝－10.正解：D.

C

错解分析：错解忽略了“在每一个象限内”这个前提条件，只根据“y随x的增大而增大”进行判断，从而导致结果出错.在比较反比例函数的函数值大小时,可以先画出函数图象的草图,再进行比较分析,这样可以减少错误.∵k<0，∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大.∵－5<－1<0，3>0，∴点A，B在第二象限，点C在第四象限.∴0<a<b，c<0，即c<a<b.正解：C.

C专题三

中考新题型【考情讲述】2020年中考广东省卷在压轴题对反比例函数、一次函数、三角形与四边形进行了综合性考查；2021年中考广东省卷在中档题对反比例函数、一次函数与相似进行了综合性考查；2022年中考广东省卷只采用选择题的形式考查反比例函数的单纯性质，属基础题.再结合近三年深圳、广州中考数学情况分析，预测今后对反比例函数的考查会降低难度，以基础题为主.

D

2（2）求△BDF的面积；（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．

B

C

D

D

6

10.(2021·深圳)如图Z26－3－7，已知反比例函数过A，B两点，点A的坐标为(2，3)，直线AB经过原点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为_________.(4，－7)11.(2022·广州)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，它的图象如图Z26－3－8所示.(1)求储存室的容积V的值；(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储