2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2.3第1课时对数函数的性质与图像训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE5-第四章4.24.2.3第1课时请同学们仔细完成[练案6]A级基础巩固一、选择题1．(多选题)下列是对数函数的是(AB)A．y＝logπx B．y＝lnxC．y＝2log4x D．y＝log2(x＋1)[解析]依据对数函数的定义推断．2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(C)A．(0,1) B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)[解析]由x2－x＞0，得x＞1或x＜0，故选C．3．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a、b、c三者的大小关系是(B)A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．b＞a＞c D．c＞b＞a[解析]log20.3＜log21＝0,20.3＞20＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞A．4．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq\f(1,2)，则a等于(A)A．4 B．2eq\r(2)C．2 D．eq\r(2)[解析]∵a＞1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴f(x)max＝f(2a)＝loga(2a)＝1＋loga2，f(x)min＝f(a)＝logaa＝1，∴1＋loga2－1＝eq\f(1,2)，∴a＝4．5．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1＋1x＜2,log2x2－2x≥2))，则f[f(2)]的值为(D)A．0 B．1C．2 D．3[解析]∵x≥2时，f(x)＝log2(x2－2)，∴f(2)＝log2(4－2)＝log22＝1，又∵x＜2时，f(x)＝2ex－1＋1，∴f(1)＝2e0＋1＝2＋1＝3，∴f[f(2)]＝f(1)＝3．二、填空题6．2－3,3eq\s\up4(\f(1,2))，log25三个数中最大数的是__log25__．[解析]∵0＜2－3＜1，log25＞log24＝2＞3eq\s\up4(\f(1,2))＝eq\r(3)，∴2－3＜3eq\s\up4(\f(1,2))＜log25，故最大数为log25．7．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图像过点(6,3)，则f(x)＝__log2(x＋2)__，f(30)＝__5__．[解析]代入(6,3)得loga(6＋2)＝loga8＝3即a3＝8，所以a＝2，所以f(x)＝log2(x＋2)．所以f(30)＝log232＝5．8．函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域是__[4，＋∞)__．[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x－2≥0，,x＞0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x≥log24，,x＞0，))所以x≥4．三、解答题9．比较下列各题中两个值的大小：(1)ln2，ln0.9；(2)loga5.1，loga5.9(a＞0，a≠1)；(3)log67，log76；(4)log3π，log20.8．[解析](1)考查函数y＝lnx，∵底数为常数e(e＞1)，∴该函数在(0，＋∞)上是增函数，又2＞0.9，∴ln2＞ln0.9．(2)当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，∵5.1＜5.9，∴loga5.1＞loga5.9．当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，∵5.1＜5.9，∴loga5.1＜loga5.9．(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76．(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8．10．已知f(x)＝loga(1－x)(a＞0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)求使f(x)＞0成立的x的取值范围．[解析](1)由1－x＞0，解得x＜1，故所求定义域为{x|x＜1}．(2)由f(x)＞0，得loga(1－x)＞loga1．当a＞1时，1－x＞1，即x＜0；当0＜a＜1时，0＜1－x＜1，即0＜x＜1．综上，当a＞1时，x的取值范围是{x|x＜0}；当0＜a＜1时，x的取值范围是{x|0＜x＜1}．B级素养提升一、选择题1．函数f(x)＝eq\r(x＋1)－ln(2－x)的定义域为(A)A．[－1,2) B．(－1，＋∞)C．(－1,2) D．(2，＋∞)[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,2－x＞0))，∴－1≤x＜2，故选A．2．下列函数为对数函数的是(C)A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝2logax(a＞0且a≠1)[解析]依据对数函数的定义可知选C．3．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤x＜0,x20≤x≤1))，则f(log42)＝(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．2 D．4[解析]∵log41＜log42＜log44，∴0＜log42＜1，又∵0≤x≤1时，f(x)＝x2，∴f(log42)＝(log42)2＝eq\f(1,4)．4．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(D)A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c[解析]本题考查了以对数为载体，比较实数大小的问题．∵1＞log54＞log53＞0，∴1＞log54＞log53＞(log53)2＞0，而log45＞1，∴c＞a＞B．二、填空题5．已知对数函数f(x)的图像过点(8，－3)，则f(2eq\r(2))＝__－eq\f(3,2)__．[解析]设f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，∴－3＝loga8，∴a－3＝8，∴eq\f(1,a3)＝8，∴a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝logeq\f(1,2)x，∴f(2eq\r(2))＝logeq\f(1,2)2eq\r(2)＝log2－12eq\f(3,2)＝－eq\f(3,2)．6．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝__－eq\f(3,2)__．[解析]依据函数的单调性可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,1＋b＝0,\f(1,a)＋b＝－1))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1,1＋b＝－1,\f(1,a)＋b＝0))，解之得a＋b＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)．7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，则关于x的不等式alogb(x－3)＜1的解集为__{x|3＜x＜4}__．[解析]原式转化为alogb(x－3)＜a0(0＜a＜1)，∴logb(x－3)＞0＝logb1(0＜b＜1)，∴0＜x－3＜1，∴3＜x＜4．三、解答题8．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．[解析](1)要使函数f(x)有意义，应满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＞0,x－3≠0))，∴x＞2且x≠3．故所求函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数f(x)有意义，应满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0,x＋1≠1,16－4x＞0))，解得－1＜x＜4，且x≠0．故所求函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．9．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a＞0，a≠1)．(1)设a＝2，函数g(x)的定义域为[－15，－1]，求g(x)的最大值；(2)当0＜a＜1时，求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．[解析](1)当a＝2时，g(x)＝log2(1－x)，在[－15，－1]上