2024-2025学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.1正整数指数函数学案含解析北师大版必修1

PAGE第三章指数函数和对数函数§1正整数指数函数学问点一正整数指数函数[填一填]1．正整数指数函数一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，正整数指数函数的定义域为正整数集N＋.[答一答]1．如何正确理解正整数指数函数的定义？提示：(1)正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必需是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．要留意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xα的区分．(2)在正整数指数函数的定义中，为什么要规定底数a是一个大于零且不等于1的常数？这是因为，若a＝0或a＝1，则对于随意的x∈N＋，都有ax＝0或ax＝1，这时，ax是一个常量，没有探讨的必要；若a<0，则在后面的学习中，当我们把正整数指数函数扩充到实数指数函数时，对于x的某些取值ax无意义，从而无法扩充．学问点二正整数指数函数的增减性及运算性质[填一填]2．正整数指数函数的增减性由本节课本的问题1与问题2可知，对正整数指数函数y＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)，当a>1时，函数图像是上升的，当0<a<1时，函数图像是下降的．(填“上升”与“下降”)3．正整数指数幂的运算性质(a>0，a≠1，m，n∈N＋)(1)am·an＝am＋n；(2)am÷an＝am－n；(3)(am)n＝amn；(4)(ab)m＝ambm；(5)(eq\f(a,b))m＝eq\f(am,bm)(b≠0)．[答一答]2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？提示：这是因为正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成，而不是曲线．对正整数指数幂的运算法则的说明：为了保证这些法则可以从定义干脆推出，我们限定m，n都是正整数，且法则(2)中限定m>n.为了取消m>n的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：a0＝1(a≠0)；a－n＝eq\f(1,an)(n∈N＋，a≠0)．在引入了负整数指数幂后，法则(2)可归入法则(1)．同时，指数的范围也从正整数扩大到了整数．留意：由于零指数幂和负整数指数幂都要求底数不等于零，因而，对于整数指数幂而言，也要求底数不等于零，主要是为了对性质的合理推广．

类型一正整数指数函数的概念【例1】若x∈N＋，推断下列函数是否是正整数指数函数．(1)y＝(－9)x；(2)y＝x4；(3)y＝eq\f(2x,5)；(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x；(5)y＝(π－3)x.【思路探究】依据正整数指数函数的解析式y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)的特征来推断．【解】(1)因为y＝(－9)x的底数－9小于0，所以y＝(－9)x(x∈N＋)不是正整数指数函数．(2)因为y＝x4中自变量x在底数位置上，所以y＝x4(x∈N＋)不是正整数指数函数．(3)y＝eq\f(2x,5)＝eq\f(1,5)·2x.因为2x的系数不是1，所以y＝eq\f(2x,5)(x∈N＋)不是正整数指数函数．(4)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x(x∈N＋)是正整数指数函数．(5)y＝(π－3)x(x∈N＋)是正整数指数函数．规律方法推断一个函数是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：ax的系数必需是1，自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a>0，a≠1.已知函数y＝(m2－3m＋1)(m＋1)x(x∈N＋)是正整数指数函数，求实数m解：由题意得m2－3m解得m＝0或m＝3.又底数m＋1>0，且m＋1≠1，∴m>－1，且m≠0，∴m＝3.类型二正整数指数函数的图像和性质【例2】(1)画出函数y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．【思路探究】依据函数关系式作函数图像，肯定要留意定义域的范围，这是解决此类问题易忽视的地方．【解】(1)函数y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)是单调递减的．(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．规律方法正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的．当0<a<1时，函数y＝ax(x∈N＋)是减函数；当a>1时，函数y＝ax(x∈N＋)是增函数．画出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性和值域．解：列表：x123456…yeq\f(2,3)eq\f(4,9)eq\f(8,27)eq\f(16,81)eq\f(32,243)eq\f(64,729)…描点，如下图．视察图像，可知函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x(x∈N＋)是减函数，值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3，…)).类型三利用正整数指数函数的单调性解不等式【例3】解下列不等式：(1)4x>23－2x(x∈N＋)；(2)0.3×0.4x<0.2×0.6x(x∈N＋)．【思路探究】依据正整数指数函数的性质，将所给不等式化为一元一次不等式的形式，再进行求解，肯定要留意题中所给未知数的取值范围．【解】(1)由4x>23－2x知，22x>23－2x，所以2x>3－2x，则x>eq\f(3,4)，x∈N＋.故不等式的解集为{x|x>eq\f(3,4)，且x∈N＋}．(2)由0.3×0.4x<0.2×0.6x，得eq\f(0.4x,0.6x)<eq\f(0.2,0.3)，即(eq\f(2,3))x<(eq\f(2,3))1，所以x>1，x∈N＋，故不等式的解集为{x|x>1，且x∈N＋}．规律方法由正整数指数函数的性质：y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是增函数，得a>1；y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)是减函数，得0<a<1.依据这一性质可以求参数的取值范围．另外，我们也可以依据这一性质解不等式．比较下列各组幂值的大小(用“>”或“<”填空)．(1)1.5819<1.5820；(2)0.52012>0.52013.解析：由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数的指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小．(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.∵1.58>1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数．又∵19<20，∴1.5819<1.5820.(2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋.∵0<0.5<1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．又∵2012<2013，∴0.52012>0.52013.——规范解答——利用正整数指数函数解决实际问题【例4】某林区2012年木材蓄积量为200万立方米，由于实行了封山育林、严禁砍伐等措施，木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．【尝试解答】(1)2012年的木材蓄积量为200万立方米；经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2.∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.∵x以年为单位，∴函数的定义域为x∈N＋.(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)的图像，如图．x01234…y200210220.5231.5243.1…作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．∵8<x0<9，则取x＝9.∴经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米．规律方法由于“递增率”问题多抽象为正整数指数函数形式，而由正整数指数函数形式来确定相关量的值多须要运用计算器计算，假如问题要求不严格，就可以通过图像近似求解．随着天气的改变，某种疾病的感染人数y与月份x(x∈N＋，1≤x≤12)满意关系式y＝a·0.5x＋b.现在已知某城市某年1月份、2月份感染人数分别为1万人、1.5万人，试求该病3月份的感染人数．解：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5a＋b＝1，,0.52a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2.))∴感染人数y与月份x满意的关系式为y＝－2·0.5x＋2(x∈N＋，1≤x≤12)．∴该病3月份的感染人数为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万人)．答：该病3月份的感染人数为1.75万人．一、选择题1．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．其中是正整数指数函数的个数为(B)A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B.2．函数y＝(eq\f(2,3))x，x∈N＋的图像是(D)A．一条上升的曲线B．一条下降的曲线C．一系列上升的点D．一系列下降的点解析：因为正整数指数函数y＝(eq\f(2,3))x，x∈N＋的底数eq\f(2,3)大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．

3.我国工农业总产值从1990年到2010年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有(D)A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4解析：本题为增长率模型函数，为指数函数形式：设1990年总产值为1，则(1＋x)20＝4.二、填空题4．某市2009年有1万辆燃油型公交车．有关部门于2010年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，该市2024年应当投入1_458辆电力型公交车．解析：由已知2011年投入128×(1＋50%)；2012年投入128×(1＋50%)2；2013年投入128×(1＋50%)3；……∴2024年投入128×(1＋50%)6＝1458(辆)．5．已知f(x)＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)的图像过点(5,32)，则f(8)＝256.解析：由题意，得a5＝32，∴a＝2.∴f(x)＝2x.∴f(8)＝28＝256.三、解答题6．农夫收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2024年某地区农夫人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．预料该地区自2024年起的5年内，农夫的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年