2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例教师用书教案新人教A版选修1-1

PAGE1-3.4生活中的优化问题举例学习目标核心素养1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.驾驭利用导数解决简洁的实际生活中的优化问题．(重、难点)借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.1．生活中的优化问题(1)生活中常常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．2．用导数解决优化问题的基本思路1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．7万件 B．9万件C．11万件 D．13万件B[设y＝f(x)，即f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．当0<x<9时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增；当x>9时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减．因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．故使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时改变率的最小值是()A．8 B．eq\f(20,3)C．－1 D．－8C[由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵0≤x≤5，∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，即原油温度的瞬时改变率的最小值是－1.]3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)．为使耗电量最小，则速度应定为__________．40[y′＝x2－39x－40，令y′＝0，即x2－39x－40＝0，解得x＝40或x＝－1(舍)．当0<x<40时，y′<0，当x>40时，y′>0，所以当x＝40时，函数y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x有最小值．]面积、体积的最值问题【例1】用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨]eq\x(设自变量高为x)→eq\x(\s\up(依据长方体的体积公式,建立体积关于x的函数))→eq\x(\s\up(利用导数求出,容积的最大值))→eq\x(\s\up(结,论))[解]设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19600(cm3)．因此当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.1．求几何风光 积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，依据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法(1)依据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)依据问题的实际意义确定定义域，如人数必需为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．eq\o([跟进训练])1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．eq\f(\r(6πS),3π)[设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝eq\f(S－2πr2,2πr).又圆柱的体积V＝πr2h，＝eq\f(r,2)(S－2πr2)＝eq\f(rS－2πr3,2)，V′(r)＝eq\f(S－6πr2,2)，令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．此时，S＝2π×eq\f(h2,4)＋πh2，∴h＝eq\f(\r(6πS),3π).]用料(费用)最省问题【例2】为了在夏季降温柔冬季供暖时削减能源损耗，房屋的屋顶和外墙须要建立隔热层．某幢建筑物要建立可运用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建立成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满意关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建立费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的函数解析式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[思路点拨]代入数据求k的值⇒建立费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f(x)⇒利用导数求最值．[解](1)设隔热层厚度为xcm，由题设可知，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5)，而建立费用为C1(x)＝6x.最终得隔热层建立费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)，当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x＝5时，为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应留意的问题1列函数解析式时，留意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.2一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.假如函数fx在给定区间内只有一个极值点或函数fx在开区间上只有一个点使f′x＝0，则只要依据实际意义推断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.eq\o([跟进训练])2．已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解]设每小时的燃料费为y1，比例系数为k，则y1＝kv2.当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，解得k＝5，∴y1＝5v2.∴全程的燃料费y＝y1·eq\f(200,v－8)＝eq\f(1000v2,v－8)(8<v≤v0)．y′＝eq\f(2000vv－8－1000v2,v－82)＝eq\f(1000v2－16000v,v－82).令y′＝0得v＝16或v＝0(舍去)．所以函数在v＝16时取得极值，并且是微小值．当v0≥16时，v＝16使y最小，即全程燃料费最省．当8<v0<16时，可得y＝eq\f(1000v2,v－8)在(8，v0]上递减，即当v＝v0时，ymin＝eq\f(1000v\o\al(2,0),v0－8).综合上述得：若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省；若8<v0<16千米/时，则当v＝v0时，全程燃料费最省．利润最大(成本最低)问题[探究问题]1．在实际问题中，假如在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：依据函数的极值与单调性的关系可以推断，函数在该点处取最值，并且微小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：(1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】某商场销售某种商品的阅历表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满意关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨](1)依据x＝5时，y＝11，求a的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解](1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，于是，当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0f(x)↗极大值42↘由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般依据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．2．解答此类问题时，要仔细理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．eq\o([跟进训练])3．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6<x<11)，年销售为u万件，若已知eq\f(585,8)－u与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y关于售价x的函数表达式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解](1)设eq\f(585,8)－u＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)，∵售价为10元时，年销量为28万件，∴eq\f(585,8)－28＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)，解得k＝2.∴u＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\f(21,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(585,8)＝－2x2＋21x＋18.∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108(6<x<11)．(2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9，明显，当x∈(6,9)时，y′>0；当x∈(9,11)时，y′<0.∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减．∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外须要特殊留意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时留意分类探讨思想的应用．1．推断正误(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题． ()(2)生活中的优化问题必需运用导数解决． ()(3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题． ()[答案](1)√(2)×(3)√2．做一个容积为256m3A．6m B．8mC．4m D．2mC[设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(1024,x)＋x2，S′＝2x－eq\f(1024,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．]3．某件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．115[利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230