2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.4统计与概率的应用学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-5.4统计与概率的应用素养目标·定方向课程标准学法解读利用统计和概率的学问解决日常生活和其他学科中的一些难题．通过统计与概率的应用，培育学生的数学建模、数据分析素养．必备学问·探新知概率的应用学问点概率是描述随机事务发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事务的概率是0～1之间的一个数，它度量该事务发生的可能性．小概率事务(概率接近0)很少发生，而也许率事务(概率接近1)则常常发生．思索：用概率描述事物发生的可能性精确吗？提示：概率是对未发生事务的估计，单独对一个事务来说不肯定精确；但对大量事务来说，概率是有很强的劝服力的．关键实力·攻重难题型探究题型嬉戏的公允性┃┃典例剖析__■典例1某校高一年级(1)(2)班打算联合实行晚会，组织者欲使晚会气氛热情、好玩，策划整场晚会以转盘嬉戏的方式进行，每个节目起先时，两班各派一人先进行转盘嬉戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种嬉戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公允？为什么？[分析]分别计算嬉戏参加各方获胜的概率，若相等，则公允，否则就不公允．[解析]该方案是公允的，理由如下：各种状况如表所示：45671567826789378910由表可知该嬉戏可能出现的状况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公允的．规律方法：嬉戏公允性的标准及推断方法(1)嬉戏规则是否公允，要看对嬉戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公允，否则就是不公允的．(2)详细推断时，可以先求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较．┃┃对点训练__■1．玲玲和倩倩是一对好挚友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，假如落地后一正一反，就我去；假如落地后两面一样，就你去！”你认为这个嬉戏公允吗？答：__公允__．[解析]两枚硬币落地共有四种结果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可见，她们两人得到门票的概率是相等的，所以公允．题型概率在决策中的应用┃┃典例剖析__■典例2设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的．[解析]甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是eq\f(99,100)；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100)，由此看出，这一白球从甲箱中抽取的概率比从乙箱中抽取的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白球，可以认为是从概率大的箱子中抽取的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽取的．规律方法：在一次试验中，概率大的事务比概率小的事务出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据．因此，在分析、解决有关实际问题时，要擅长敏捷地运用极大似然法这一思想方法来进行科学的决策．┃┃对点训练__■2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种状况(A)A．这100个铜板两面是一样的B．这100个铜板两面是不同的C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的[解析]落地时100个铜板朝上的面都相同，依据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．题型统计与概率的应用┃┃典例剖析__■典例3为迎接第32届东京奥运会，某班开展了一次“体育学问竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成果(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：序号分组(分数段)频数(人数)频率1[0,60)a0.12[60,75)150.33[75,90)25b4[90,100]cd合计501(1)求a，b，c，d的值；(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，假如一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率；(3)求本次竞赛学生的平均分．[解析](1)a＝50×0.1＝5，b＝eq\f(25,50)＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1．(2)由(1)知c＝5，则得分在[90,100]之间的有五名学生，分别记为男1，男2，女1，女2，女3．事务“一等奖只有两名”包含的全部事务为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本领件；事务“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本领件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝eq\f(3,10)．(3)eq\o(x,\s\up6(－))＝0.1×30＋0.3×67.5＋0.5×82.5＋0.1×95＝3＋20.25＋41.25＋9.5＝74．┃┃对点训练__■3．下表是从某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料统计表．(单位：cm)区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人数58102233区间界限[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]人数201165(1)画出频率分布直方图；(2)估计身凹凸于134cm的人数占总人数的百分比．[分析](1)先依据表中数据求出各组的频率，再画频率分布直方图．(2)试估计500名12岁男孩中身凹凸于134cm的频率．[解析](1)依据表中数据列表如下.分组频数频率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合计1201.00画出频率分布直方图，如图所示．(2)因为样本中身凹凸于134cm的人数的频率为eq\f(5＋8＋10,120)＝eq\f(23,120)≈0.19，所以估计该校500名12岁男孩中身凹凸于134cm的人数占总人数的19%．易错警示┃┃典例剖析__■典例4元旦就要到了，某校欲实行联欢活动，每班派一人主持节目，高二(1)班的小明、小华和小丽实力相当，都争着要去，班主任确定用抽签的方式来确定，小强给小华出办法，要小华先抽，说先抽的机会大，你是怎么认为的？[错解]这种说法正确．[辨析]在解题过程中，很简洁误认为先抽获奖的概率大，后抽获奖的概率小．事实上该题是一个简洁随机抽样问题，号签“1”在每一次被抽到的概率都是相等的，不会因为抽取的依次而变更．[正解]取三张卡片，上面分别标有1,2,3，抽到“1”就表示中签．假设抽签的次序为甲、乙、丙，则可