2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法演练含解析新人教A版选修1-2

PAGE1-其次章推理与证明2.2干脆证明与间接证明2.2.2反证法A级基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线冲突；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的依次为()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B3．用反证法证明在“△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案：B4．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°答案：B5．设实数a、b、c满意a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于()A．0 B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：假设a，b，c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1冲突，选项B正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．答案：b与c平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一冲突说明p为偶数．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其假设为________．解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此用反证法证明时的假设为“a，b不全为0”．答案：a，b不全为0三、解答题9．设x，y都是正数，且x＋y>2，试用反证法证明：eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．证明：假设eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，即eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2.又因为x，y都是正数，所以1＋x≥2y，1＋y≥2x.两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，则x＋y≤2，这与题设x＋y>2冲突，所以假设不成立．故eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2中至少有一个成立．10．设等比数列{an}的公比为q，Sn为它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)当q≠1时，数列{Sn}是等差数列吗？为什么？证明：(1)假设{Sn}是等比数列，则Seq\o\al(2,2)＝S1·S3，所以aeq\o\al(2,1)(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，所以q＝0，这与等比数列的公比q≠0冲突．故数列{Sn}不是等比数列．(2)当q≠1时，假设{Sn}是等差数列，则有2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．因为a1≠0，所以q(q－1)＝0.又q≠1，所以q＝0.这与q≠0冲突．故{Sn}不是等差数列．B级实力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2则a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6，①又a，b，c大于0所以a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2.∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6.②故①与②式冲突，假设不成立所以a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，假如存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f(x)存在好点，则x2＋2ax＋1＝x有实数解，即x2＋(2a－1)x＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a－1)2－4≥0，解得a≤－eq\f(1,2)或a≥eq\f(3,2).所以f(x)不存在好点时，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).答案：A3．已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O，则OP⊥OQ.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－y＝1，,x2－2y2＝1，))消去y，整理得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0.所以x1＋x2＝eq\f(－4a,1－2a2)，x1x2＝eq\f(