北京19年中考数学试卷

北京19年中考数学试卷一、选择题

1.若关于x的不等式ax²+bx+c≥0的解集为全体实数，则下列选项正确的是（）

A.a＞0，且b²-4ac=0

B.a＜0，且b²-4ac=0

C.a＞0，且b²-4ac＜0

D.a＜0，且b²-4ac＜0

2.在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C=（）

A.75°

B.105°

C.135°

D.150°

3.若函数y=f(x)在区间[0，1]上单调递增，且f(0)=0，f(1)=1，则下列不等式中正确的是（）

A.f(0.5)＜0.5

B.f(0.5)＞0.5

C.f(0.5)＜1

D.f(0.5)＞1

4.已知等差数列{an}的公差为d，若a1+a4=a2+a5，则d=（）

A.0

B.1

C.-1

D.2

5.在平面直角坐标系中，若点P（1，-2）关于直线y=-x的对称点为Q，则点Q的坐标是（）

A.（-1，2）

B.（1，2）

C.（-1，-2）

D.（1，-2）

6.已知函数f(x)=x²-4x+3，求f(x)的顶点坐标是（）

A.（1，0）

B.（2，-1）

C.（1，-2）

D.（2，0）

7.若等比数列{an}的公比为q，且a1+a2+a3+a4=20，a1+a2+a3+a4+a5=80，则q=（）

A.1

B.2

C.4

D.8

8.已知函数y=2x+1在x=2时的切线斜率为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则cosC=（）

A.√3/2

B.√2/2

C.1/2

D.-√3/2

10.若方程x²-3x+2=0的根为a和b，则a²+b²=（）

A.5

B.6

C.7

D.8

二、判断题

1.平行四边形的对角线互相平分，这个性质可以用来证明两个三角形全等。（）

2.在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到直线的垂线段长度。（）

3.一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。（）

4.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，其中d是公差，a1是首项，n是项数。（）

5.在函数y=ax²+bx+c中，当a>0时，函数图像开口向上，顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)。（）

三、填空题

1.已知函数y=3x²-12x+9，其顶点坐标为______。

2.在△ABC中，若∠A=50°，∠B=70°，则∠C的度数为______。

3.若等差数列{an}的前三项分别是2，5，8，则该数列的公差d为______。

4.函数y=x³在x=1处的导数值为______。

5.在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于原点的对称点坐标为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别方法，并举例说明。

2.解释什么是函数的周期性，并给出一个具有周期性的函数的例子。

3.如何判断一个数列是否为等差数列？请给出两个不同的方法。

4.简述勾股定理的内容，并解释其在直角三角形中的应用。

5.描述如何在平面直角坐标系中确定一个点关于y轴的对称点，并给出相应的计算步骤。

五、计算题

1.解一元二次方程：3x²-4x-4=0，并写出其判别式Δ的值。

2.在直角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，AB=6cm，求BC和AC的长度。

3.已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项an的值。

4.计算函数y=2x+3在x=4处的切线方程。

5.解不等式组：x+2>3且2x-1≤5，并写出其解集。

六、案例分析题

1.案例背景：某班级学生正在进行一次数学测验，测验成绩分布如下：最高分为100分，最低分为60分，平均分为80分，标准差为10分。

案例分析：

（1）根据上述数据，分析该班级学生数学测验成绩的分布情况。

（2）结合平均分和标准差，对该班级学生的数学学习状况进行评价。

（3）提出改进学生数学学习状况的建议。

2.案例背景：某校为了提高学生的物理实验操作能力，开展了物理实验竞赛活动。在竞赛中，学生需要进行一系列物理实验，包括测量、观察、记录和分析等环节。以下是部分学生的实验成绩：

学生A：实验一：80分；实验二：85分；实验三：90分。

学生B：实验一：75分；实验二：70分；实验三：65分。

学生C：实验一：85分；实验二：80分；实验三：75分。

案例分析：

（1）分析三位学生在物理实验竞赛中的表现，并比较他们的实验技能水平。

（2）针对学生B在实验竞赛中的表现，提出相应的改进措施，以提高其物理实验技能。

（3）讨论如何通过物理实验竞赛活动，激发学生对物理实验的兴趣，提高学生的实验操作能力。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每件产品需要经过两道工序加工。第一道工序的合格率为90%，第二道工序的合格率为85%。如果两道工序独立进行，求最终产品合格率。

2.应用题：小明骑自行车去图书馆，如果以每小时10公里的速度行驶，需要40分钟到达。如果他以每小时15公里的速度行驶，需要多少时间到达？

3.应用题：一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm和2cm，求这个长方体的体积和表面积。

4.应用题：某商店销售一种商品，原价为100元，第一次打八折后，第二次再打九折。求顾客最终支付的价格。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.B

3.B

4.A

5.A

6.B

7.C

8.A

9.B

10.A

二、判断题答案：

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.(1,-3)

2.60°

3.2

4.3

5.(-2,-3)

四、简答题答案：

1.一元二次方程的根的判别方法有：直接代入法、公式法、图像法等。举例：解方程x²-6x+9=0，使用直接代入法，代入x=0，得到f(0)=0，代入x=3，得到f(3)=0，因此方程的根为x=0和x=3。

2.函数的周期性是指函数图像在一定区间内呈现出重复的规律。例子：函数y=sin(x)是一个周期为2π的周期函数，其图像在每2π的区间内重复。

3.判断等差数列的方法有：通项公式法、等差中项法等。通项公式法：若数列{an}满足an=a1+(n-1)d，则该数列是等差数列；等差中项法：若数列{an}中任意相邻两项a(n-1)和an满足a(n-1)+an=2a(n/2)，则该数列是等差数列。

4.勾股定理的内容是：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。应用：在直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则AB=5cm。

5.在平面直角坐标系中，点A(x,y)关于原点的对称点坐标为(-x,-y)。计算步骤：取点A的横坐标x和纵坐标y的相反数，得到对称点坐标。

五、计算题答案：

1.解得x=2或x=-2/3，判别式Δ=16-4*3*(-4)=16+48=64。

2.BC=6cm，AC=6√3cm。

3.第10项an=3+(10-1)*2=3+18=21。

4.切线斜率为3，切线方程为y-3=3(x-4)，即y=3x-9。

5.解得x>1且x≤3，解集为1<x≤3。

七、应用题答案：

1.最终产品合格率为0.9*0.85=0.765，即76.5%。

2.小明以15公里/小时的速度行驶，需要40分钟到达，即2/3小时，所以距离为(2/3)*15=10公里。

3.体积V=长×宽×高=4cm×3cm×2cm=24cm³，表面积S=2(长×宽+长×高+宽×高)=2(4cm×3cm+4cm×2cm+3cm×2cm)=52cm²。

4.最终支付价格为100元*0.8*0.9=72元。

知识点总结：

本试卷涵盖了中学数学的主要知识点，包括：

1.代数基础知识：一元二次方程、不等式、数列等。

2.几何基础知识：三角形、四边形、圆等。

3.函数与图像：函数的基本概念、图像的绘制、函数的周期性等。

4.应用题：涉及代数、几何、函数等知识在实际问题中的应用。

题型知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，如一元二次方程的根、三角形的内角和、函数的图像等。

2.判断题：考察学生对基础知识的理解程度，如平行四边形的性质、点到直线的距离等。

3.填空题：考察学生对基础知识的记忆和应用能力，如函数的顶点坐标、等差数列的公差等。

4.简答题：考