2024-2025学年新教材高中数学第11章立体几何初步11.1空间几何体11.1.6祖暅原理与几何体的体积教案新人教B版必修第四册

PAGE1-11.1.6祖暅原理与几何体的体积学习目标核心素养1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的推导方法，了解“祖暅”原理，将空间问题转化为平面问题．(重点、难点)2．知道柱、锥、台和球的体积公式，能用公式解决简洁的实际问题．(重点)1.通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培育数学运算核心素养．2．借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养.祖暅(ɡènɡ)，祖冲之之子，是我国古代南北朝时期的数学家，他在总结前人探讨的基础上，总结出祖暅原理．在欧洲直到17世纪，才由意大利的卡瓦列里提出这个事实．1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，假如被平行于这两个平面的随意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．2．柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h棱锥eq\f(1,3)Sh锥体圆锥eq\f(1,3)πr2h台体棱台eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)圆台eq\f(1,3)πh(r2＋r′＋r′2)球eq\f(4,3)πR31．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，假如截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等． ()(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其详细形态无关． ()(3)由V锥体＝eq\f(1,3)S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A．15π B．30C．12π D．36πC[圆锥的高h＝eq\r(52－32)＝4，故V＝eq\f(1,3)π×32×4＝12π.]3．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的eq\f(1,2)，则圆锥的体积()A．缩小为原来的eq\f(3,4) B．缩小为原来的eq\f(2,3)C．扩大为原来的2倍 D．不变A[设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆锥的体积V＝eq\f(1,3)πr2×h，当圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的eq\f(1,2)时，圆锥的体积V′＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))eq\s\UP12(2)×3h＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2×h)).所以圆锥的体积缩小为原来的eq\f(3,4).故选A．]4．若一个球的直径是12cm，则它的体积为________cm3.288π[由题意，知球的半径R＝6cm，故其体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)×π×63＝288π(cm3)．]求柱体的体积【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积．[解]V六棱柱＝eq\f(\r(3),4)×42×6×2＝48eq\r(3)(cm3)，V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此几何体的体积：V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48eq\r(3)＋22π)(cm3)．柱体体积问题的处理方法求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高．圆柱的高是其母线长．详细问题中要能精确应用“底面”“高”的定义去求解相关元素．eq\o([跟进训练])1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解]设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝πr2，,2πrh＝4a2，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))由①得r＝eq\f(\r(π),π)a，由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝eq\f(2\r(π),π)a3，∴V正方体∶V圆柱＝a3∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(π),π)a3))＝eq\f(\r(π),2)∶1＝eq\r(π)∶2.求锥体的体积【例2】如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1[思路探究]eq\x(AB∶A1B1＝1∶2)→eq\x(S△ABC∶S△A1B1C1)→eq\x(计算VA1－ABC)→eq\x(计算VC－A1B1C1)→eq\x(计算VB－A1B1C)[解]设棱台的高为h，S△ABC＝S，∵AB∶A1B1＝1∶2，则S△A1B1C1＝4S∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V台＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V台­VA1­ABC­VC­A1B1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1割补法与等积法求锥体体积三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．eq\o([跟进训练])2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D­ACD1A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1A[三棱锥D­ACD1的体积VD­ACD1＝VD1­ACD＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).]求台体的体积【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面积是780cm2.求正四棱台的体积．[思路探究]可以尝试借助四棱台内的直角梯形，求出棱台底面积和高，从而求出体积．[解]如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10cm，AB＝20cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E由S侧＝4×eq\f(1,2)(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝5，OE＝eq\f(1,2)AB＝10，∴O1O＝eq\r(E1E2－OE－O1E12)＝12，V正四棱台＝eq\f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．故正四棱台的体积为2800cm3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，”求该棱台的体积．[解]如图，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2cm和4cm则O1B1＝eq\r(2)cm，OB＝2eq\r(2)cm，过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMBBB1＝2cm，MB＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2)(cm)．依据勾股定理MB1＝eq\r(BB\o\al(2,1)－MB2)＝eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2)(cm)．S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(4＋eq\r(4×16)＋16)＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×28＝eq\f(28\r(2),3)(cm3)．求台体体积的技巧求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要留意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．求球的体积【例4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的体积和表面积．[思路探究]解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径、截面圆半径和球心距构成的直角三角形．[解]如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，∴O′为正三角形ABC的中心，∴AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)(cm)．设OA＝R，则OO′＝eq\f(1,2)R，∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，∴AO′＝eq\f(\r(3),2)R＝eq\r(3)(cm)，∴R＝2(cm)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．即球的体积为eq\f(32,3)πcm3，表面积为16πcm2.计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R，一般题目不干脆给出球的半径，而是隐藏在某些条件中，解题过程中，肯定要留意挖掘隐含条件.eq\o([跟进训练])3．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.4[设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3·eq\f(4,3)πr3，即2r＝8，所以r＝4cm.]学问：1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过试验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．依据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采纳“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．2．球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要留意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.方法：不规则几何体的体积问题的求解策略：若几何体是组合体，可将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型，再依据相关公式求解．还有许多的题型主要应用化归与转化的思想化不规则为规则，以“分割”“补形”为工具将不规则图形转化为常见的几何体的形式．1．已知球O的表面积为16π，则球O的体积为()A．eq\f(4,3)π B．eq\f(8,3)πC．eq\f(16,3)π D．eq\f(32,3)πD[因为球O的表面积是16π，所以球O的半径为2，所以球O的体积为eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32,3)π，故选D．]2．假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8πB[设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.∴4π＝πa2，a＝2.∴V圆柱＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\UP12(2)×a＝2π.]3．若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为()A．1∶3∶4 B．1∶3∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶2B[设球的半径为R，则V圆锥＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球＝eq\f(2,3)∶2∶eq\f(4,3)＝1∶3∶2.]4．如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP，若三棱锥P­EBD的体积为V1，三棱锥P­ABD的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值为________．eq\f(1,3)[设四棱锥P­ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2＝VP­ABD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh.因为CE＝2EP，所以EP＝eq\f(1,3)PC，所以V1＝VP­EBD＝VE­PBD＝eq\f(1,3)VC­PBD＝eq\f(1,3)VP­BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,6)Sh＝eq\f(1,18)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,18)Sh,\f(1,6)Sh)＝eq\f(1,3).]5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为eq\r(15)，求这个三棱锥体积．[解]如图所示，正三棱锥S­ABC．设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并