2024-2025学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE1课时作业13椭圆的简洁性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．若椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率e＝eq\f(\r(10),5)，则m的值是(B)A．3 B．3或eq\f(25,3)C.eq\r(15) D.eq\r(5)或eq\f(5\r(15),3)解析：若焦点在x轴上，则a＝eq\r(5)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),5)得c＝eq\r(2)，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴eq\f(m－5,m)＝eq\f(2,5)，∴m＝eq\f(25,3).所以m的值为3或eq\f(25,3).2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是(D)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1解析：由右焦点为F(1,0)可知c＝1，因为离心率等于eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故a＝2，由a2＝b2＋c2知b2＝3，故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故选D.3．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是(A)A．[4－2eq\r(3)，4＋2eq\r(3)] B．[4－eq\r(3)，4＋eq\r(3)]C．[4－2eq\r(2)，4＋2eq\r(2)] D．[4－eq\r(2)，4＋eq\r(2)]解析：由8x2＋3y2＝24，得eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,8)＝1.∴－eq\r(3)≤m≤eq\r(3)，4－2eq\r(3)≤2m＋4≤4＋2eq\r(3).4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为(A)A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：依题意4b2＝4ac，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(c,a)，即1－e2＝e.∵在椭圆中a2＝b2＋c2，∴e2＋e－1＝0.∴e＝eq\f(\r(5)－1,2)(舍去负值)．5．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为(A)A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：依据条件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b＝2，椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.6．设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq\f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(C)A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－c))＝2c.∴3a＝4c.∴e＝eq\f(3,4).7．椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(B)A．[eq\f(1,2)，eq\f(3,4)] B．[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]C．[eq\f(1,2)，1] D．[eq\f(3,4)，1]解析：如图：直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－x.代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得3x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12，整理得7x2－16x＋4＝0，∴2＋x＝eq\f(16,7)，∴x＝eq\f(2,7).∴M点坐标为(eq\f(2,7)，eq\f(12,7))．同理可得N点坐标为(eq\f(26,19)，eq\f(24,19))．∴kA1M＝eq\f(\f(12,7),\f(2,7)＋2)＝eq\f(3,4)，kA1N＝eq\f(\f(24,19),\f(26,19)＋2)＝eq\f(3,8).∴直线PA1斜率的取值范围是[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]．8．已知P(m，n)是椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是(B)A．(0,1] B．[1,2]C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：因为P(m，n)是椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1上的一个动点，所以m2＋eq\f(n2,2)＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.二、填空题9．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).解析：由题意2b>2c，即b>c，即eq\r(a2－c2)>c，∴a2－c2>c2，则a2>2c2.∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，∴0<e<eq\f(\r(2),2).10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是eq\f(\r(3),3).解析：如图，因为△ABF2是正三角形，所以∠AF2B＝60°，因为直线AB与椭圆长轴垂直，所以F2F1是正三角形ABF2的高，∠AF2F1＝eq\f(1,2)×60°＝30°，Rt△AF2F1中，设|AF1|＝m，sin30°＝eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(1,2)，所以|AF2|＝2m，|F1F2|＝eq\r(|AF2|2－|AF1|2)＝eq\r(3)m因此，椭圆的长轴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m，焦距2c＝eq\r(3)m，所以椭圆的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(\r(3),3).11．设F1、F2分别为椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，则点A的坐标是(0,1)或(0，－1)．解析：如图，设直线AB与x轴交于点N(n,0)，∵eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，∴eq\f(|NF2|,|NF1|)＝eq\f(1,5)，∴eq\f(n－\r(2),n＋\r(2))＝eq\f(1,5)，∴n＝eq\f(3\r(2),2).设直线AB方程为x＝my＋eq\f(3\r(2),2)，代入椭圆方程，得：(m2＋3)y2＋3eq\r(2)my＋eq\f(3,2)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－eq\f(3\r(2)m,m2＋3)，y1y2＝eq\f(3,2m2＋3)，由eq\o(F1A,\s\up6(→))＝5eq\o(F2B,\s\up6(→))，得y1＝5y2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6y2＝－\f(3\r(2)m,m2＋3)，,5y\o\al(2,2)＝\f(3,2m2＋3)，))∴eq\f(5m2,2m2＋32)＝eq\f(3,2m2＋3)，∴m＝±eq\f(3\r(2),2)，∴y2＝±eq\f(1,5)，从而y1＝±1，∴A点坐标为(0，±1)．三、解答题12．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq\f(\r(3),2)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．解：(1)依题意设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(36－b2),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则b＝9，c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,130)＋eq\f(x2,81)＝1.13．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为eq\f(3,5).(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4，又由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)过点(3,0)且斜率为eq\f(4,5)的直线方程为y＝eq\f(4,5)(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝eq\f(3－\r(41),2)，x2＝eq\f(3＋\r(41),2)，∴AB的中点坐标eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中点为(eq\f(3,2)，－eq\f(6,5))．——实力提升类——14．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，右顶点为A，点M的横坐标为eq\f(9,2)，设MF与椭圆交于点P，直线PA，MA的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值范围是(－∞，－eq\f(26,9))．解析：如图所示，设P(x0，y0)，M(eq\f(9,2)，y1)，又F(－2,0)，A(3,0)，则直线PF的方程为y＝eq\f(y0,x0＋2)(x＋2)．令x＝eq\f(9,2)，得y1＝eq\f(13y0,2x0＋2)，即M(eq\f(9,2)，eq\f(13y0,2x0＋2))，于是得k1＝eq\f(y0,x0－3)，k2＝eq\f(13y0,3x0＋2)，所以k1k2＝eq\f(13y\o\al(2,0),3x0－3x0＋2).由点P在椭圆上，得yeq\o\al(2,0)＝eq\f(5,9)(9－xeq\o\al(2,0))，代入得k1k2＝eq\f(13,3x0－3x0＋2)×eq\f(5,9)(9－xeq\o\al(2,0))＝－eq\f(65,27)(1＋eq\f(1,x0＋2))．因为点P是线段FM与椭圆的交点，则点P只可能在直线x＝－2的右侧且异于点A，即x0∈(－2,3)，所以1＋eq\f(1,x0＋2)>eq\f(6,5)，故k1k2<－eq\f(26,9).15．已知，椭圆C过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，假如直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意c＝1，由定义|F1A|＋|F2A|＝eq\r(4＋\f(9,4))＋eq\r(\f(9,4))＝4＝2a，∴a＝2，∴b＝eq\r(3)，∴椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)证明：设直线AE方程为：y＝k(x－1)＋eq\f(3,2)，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－k))2－12＝0，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,