专题跟踪检测(七)-空间几何体的表面积、体积

专题跟踪检测（七）空间几何体的表面积、体积1．设某圆锥的母线长和高分别为l，h，侧面积和底面积分别为S1，S2，若S1＝3S2，则eq\f(h,l)＝()A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(5),3) D．eq\f(1,3)解析：选A设圆锥的底面圆半径为r，则S2＝πr2＝π(l2－h2)，S1＝eq\f(1,2)·2πr·l＝πleq\r(l2－h2)，∵S1＝3S2，∴3π(l2－h2)＝πleq\r(l2－h2)，∴8l2＝9h2，∴eq\f(h,l)＝eq\f(2\r(2),3).故选A．2．(多选)(2021·黄冈中学高三三模)若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，正确的是()A．若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线B．若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直C．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m异面的直线D．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线解析：选BD令平面α∩平面β＝直线l，对于A选项：当平面α⊥平面β时，在平面β内作直线n⊥l，则n⊥α，而m⊥α，则n∥m，A错误；对于B选项：m⊥α，则m⊥l，则平面β内与l平行的所有直线都与直线m垂直，B正确；对于C选项：直线m⊂α，则m与l重合时，即m⊂β，β内的所有直线都与m共面，C错误；对于D选项：当m⊥β时，结论成立；当直线m与β不垂直时，作与直线m垂直的平面γ，则γ必与β相交，所得交线与m垂直，D正确．故选B、D．3.如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器．秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口(长方体)深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积(不含上底面)为33平方寸，则该铜方升内口的容积为()A．5.4立方寸 B．8立方寸C．16立方寸 D．16.2立方寸解析：选D设内口宽为a寸，则长为1.8a寸，由2(a＋1.8a)＋1.8a2＝33，整理得9a2＋28a－165＝0，解得a＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(55,9)舍去))，故所求的容积为3×(1.8×3)×1＝16.2(立方寸)．4.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝60°，M，N分别是A1C1，CC1的中点，BC＝CA＝CC1，则BN与AM所成角的余弦值为()A．eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：选A如图，取BB1的中点为Q，AC的中点为P，连接C1Q，PQ，C1P，PB．因为BN∥C1Q，AM∥C1P，所以∠QC1P或其补角即为BN与AM所成角．设BC＝2，则AM＝C1P＝BN＝C1Q＝eq\r(5)，PQ＝2，在△PQC1中，cos∠QC1P＝eq\f(5＋5－4,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(3,5).5．过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则圆柱的侧面积是()A．12eq\r(2)π B．12πC．8π D．10π解析：选C如图所示，过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，面积为8，故边长AB＝AD＝2eq\r(2)，即底面半径R＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2)，侧棱长为AD＝2eq\r(2).则圆柱的侧面积是S＝2πR·AD＝2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝8π.6．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是()解析：选BC对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为2，则O(1,1,0)，P(0，2,1)，M(2,0,2)，N(0,2,2)，eq\o(MN,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，eq\o(OP,\s\up7(→))＝(－1,1,1)．因为eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝4≠0，故选项A中不满足MN⊥OP.同理可得出选项B和选项C中，eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝0，即MN⊥OP，选项D中eq\o(MN,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝4，不满足条件．故选B、C．7．(2021·北京高考)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级()A．小雨 B．中雨C．大雨 D．暴雨解析：选B由相似关系可得，小圆锥的底面半径r＝eq\f(\f(200,2),2)＝50，故V小锥＝eq\f(1,3)×π×502×150＝503·π，从而可得积水厚度h＝eq\f(V小锥,S大圆)＝eq\f(503·π,π·1002)＝12.5，属于中雨．8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若F是DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(\r(5),3) D．eq\f(2\r(5),5)解析：选D如图，设CC1的中点为E，连接FE，BE，可得FE∥DC，则FE⊥平面BB1C1C，而FE⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BB1C1C，且平面ABEF∩平面BB1C1C＝BE，在平面BB1C1C中，过B1作B1G⊥BE，垂足为G，则B1G⊥平面ABEF，则B1到平面ABF的距离为B1G.由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，得S△BB1E＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，又BE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，由等面积法可得，S△BB1E＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(5),2)×B1G＝eq\f(1,2)，得B1G＝eq\f(2\r(5),5)，即B1到平面ABF的距离为eq\f(2\r(5),5).9．(2021·天津河西区高三一模)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为()A．25π B．50πC．5π D．10π解析：选A取AC的中点O，连接OB，OD，如图所示．由题意AC＝eq\r(32＋42)＝5，因为∠ABC＝∠ADC＝90°，O为AC的中点，所以OB＝OD＝eq\f(1,2)AC＝OA＝OC＝eq\f(5,2)，所以，O为四面体A-BCD的外接球的球心，且球O的半径R＝eq\f(5,2)，因此，四面体A-BCD的外接球的表面积为4πR2＝25π.10.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论中正确的是()A．AC⊥平面BDD1B1B．A1P的最小值为eq\f(\r(6),2)C．平面AD1C∥平面A1C1BD．异面直线A1P与AD1所成角的最大值是eq\f(π,3)解析：选ABC∵正方体中，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，∵正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1，故A正确；∵△A1BC1是正三角形，且边长为eq\r(2)，当P为BC1中点时，A1P取得最小值为eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2)，故B正确；∵正方体中，AA1∥BB1∥CC1且AA1＝CC1，故四边形A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC，∵A1C1⊄平面AD1C，AC⊂平面AD1C，∴A1C1∥平面AD1C，同理可得A1B∥平面AD1C，∵A1C1∩A1B＝A1，∴平面AD1C∥平面A1C1B，故C正确；易得AD1∥BC1，则异面直线A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成角，且当P为BC1中点时，A1P与AD1所成角的最大值为eq\f(π,2)，故D错误．11.(多选)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点，下列命题正确的是()A．MO∥平面PACB．PA∥平面MOBC．OC⊥平面PACD．平面PAC⊥平面PBC解析：选AD因为AB为圆O的直径，M是线段PB的中点，所以OM∥PA，又OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC，即A正确；又PA⊂平面PAB，即PA⊂平面MOB，故B错误；因为点C在圆O的圆周上，所以AC⊥CB，故OC不与AC垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，即C错误；由直线PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC．又AC⊥CB，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，即D正确．故选A、D．12．(多选)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1，E是边CD中点，将△ADE沿AE翻折，得到四棱锥D1-ABCE，在翻折的过程中，下列说法正确的是()A．BC∥面AD1EB．AE⊥CD1C．三棱锥D1-ABC体积的最大值是eq\f(1,3)D．点C到面ABD1距离的最大值是eq\f(\r(2),2)解析：选ABD由题意，CE＝eq\f(1,2)CD＝AB＝1，且AB∥CE，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是正方形．∵BC∥AE，且BC⊄平面AD1E，AE⊂平面AD1E，∴BC∥面AD1E，即A正确；在梯形ABCD中，AE⊥CD，翻折过程中AE⊥CE，AE⊥ED1，∵CE∩ED1＝E，∴AE⊥平面CED1，∵CD1⊂平面CED1，∴AE⊥CD1，即B正确；在翻折过程中，当D1E⊥平面ABCE时，三棱锥D1-ABC体积最大，∴该三棱锥体积的最大值为V＝eq\f(1,3)S△ABC·D1E＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＝eq\f(1,6)，故C错误；作D1M⊥CE于M，作MN⊥AB于N，连接D1N，由AE⊥平面CED1，可得AE⊥D1M，∵AE∩EC＝E，且AE⊂平面ABCE，EC⊂平面ABCE，∴D1M⊥平面ABCE，∵AB⊂平面ABCE，∴D1M⊥AB，又∵AB⊥MN，且MN⊂平面MND1，D1M⊂平面MND1，MN∩D1M＝M，∴AB⊥平面MND1，∵AB⊂平面D1AB，∴平面D1MN⊥平面D1AB．在△MND1中，作MH⊥D1N于H，∵平面D1MN∩平面D1AB＝D1N，∴MH⊥平面D1AB，由题易知CE∥平面D1AB，可知MH即为点C到面ABD1的距离．设D1M＝x，则0＜x≤D1E，即0＜x≤1，在△D1MN中，∠D1MN＝90°，MN＝1，D1N＝eq\r(x2＋1)，∴MH＝eq\f(D1M·MN,D1N)＝eq\f(x,\r(x2＋1))＝eq\f(1,\r(1＋\f(1,x2)))，易知函数y＝eq\f(1,\r(1＋\f(1,x2)))在(0,1]上单调递增，∴eq\f(1,\r(1＋\f(1,x2)))≤eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，当x＝1时，取得最大值．∴点C到面ABD1距离的最大值是eq\f(\r(2),2)，即D正确．故选A、B、D．13.(2021·南开中学高一期末)如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为________．解析：作出圆锥的轴截面如图所示，球心为截面三角形的中心，∵截面为正三角形，且边长为2，则球的半径为r＝eq\f(1,3)×eq\r(22－12)＝eq\f(\r(3),3).∴溢出溶液的体积等于球的体积，即eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(4\r(3)π,27).答案：eq\f(4\r(3)π,27)14.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为________．解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)，0))，A(1,0,0)，C(0,3，0)，D1(0,0,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1,3,0)，eq\o(AD1,\s\up7(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)，0)).设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝－x＋3y＝0，,n·eq\o(AD1,\s\up7(→))＝－x＋z＝0，))取y＝1，得n＝(3,1,3)，∴点E到面ACD1的距离d＝eq\f(|eq\o(AE,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(3\r(19),38).答案：eq\f(3\r(19),38)15．(2021·酒泉三模)已知三棱锥A-BCD，AB＝3，AD＝1，BC＝4，BD＝2eq\r(2)，当三棱锥A-BCD的体积最大时，则外接球的表面积为________．解析：如图，在△ABD中，由AB＝3，AD＝1，BD＝2eq\r(2)，可得：AD2＋BD2＝AB2，所以△ABD为直角三角形，易知BC⊥平面ABD时三棱锥A-BCD的