投资学之最优投资组合与有效边界

4最优投资组合与有效边界投资组合优化的五种形式1C=F+P2P=D+E3C=F+D+E4P=S1+S2+…+Sn5C=F+4P=S1+S2+…+Sn14.1单一风险资产P与单一无风险资产F的资产组合C2图4-1风险资产与无风险资产的

可行投资组合3资本配置线(capitalallocationline,CAL)其斜率称为夏普比率(Sharperatio)经过点（0，7%）这里0<=y<=1,不允许借款投资于P4CAL的杠杆作用若允许以无风险利率借入款项并全部投资于风险资产P。若使用40%杠杆,则有：E(rc)=(-0.4)(0.07)+(1.4)(0.15)=18.2%

c

=(1.4)(0.22)=30.8%5图4-2借贷利率不同时的可行集

(弯折的CAL)6风险容忍度与资产配置74.2两种风险资产的投资组合8情况一9情况二10情况三11组合的机会集与有效集资产组合的机会集合或可行集合（Portfolioopportunityset,Feasibleset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和标准差。有效组合点（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ空间中的一个点。有效集（Efficientset）：又称为有效边界、有效前沿（Efficientfrontier）,它是有效组合点的集合（点的连线）。1213命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合是一条直线。

证明：由资产组合的计算公式可得14两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。收益E(rp)风险σpDE15两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρDE=-1，则有16命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合是两条直线，其截距相同，斜率异号。

证明：1718两种证券完全负相关的图示收益rp风险σpDE19命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合是一条二次曲线(双曲线)

证明：暂略20各种相关系数下、两种风险资产构成的资产组合机会集合(portfolioopportunityset)收益E(rp)风险σpρ=1ρ=0.3ρ=-1E21两只共同基金的描述性统计22不同相关系数下的

期望收益与标准差23244.3资产在股票、债券与国库券之间的配置组合方法：两项风险资产先组合形成新的风险资产组合，然后再向组合中加入无风险资产形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的，效用水平最高25债券与股票基金的可行集和两条可行的CALs26最优风险资产组合P的求解27282930小结：两种风险资产与无风险资产

组合的配置程序确定各单个资产的收益与风险统计量建造风险资产组合根据式(3)计算最优风险资产组合P的构成比例根据式(1)、(2)计算资产组合P的收益与风险统计量配置风险资产组合和无风险资产根据式计算风险资产组合P与无风险资产的组合权重计算最终投资组合中具体投资品种的份额。314.4多个风险资产组合的最优资产组合求解见Excel文件。324.5马科维茨的资产组合选择模型均值-方差（Mean-variance）模型是由HarryMarkowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据投资组合比较的占优原则，这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化334.5.1马柯维茨模型的代数求解34对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组3536这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。37其中，1T=(1,…,1)T是所有元素为1的n维列向量。由此构造Lagrange函数4.5.2马柯维茨模型的矩阵解法380=[0,0,…,0]T394041424344g点是全局最小方差组合点（globalminimumvarianceportfoliopoint）均值方差wg45注意点wg以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这样，全局最小方差点wg以上的部分（子集），被称为均方效率边界(mean-varianceefficientfrontier)均值方差wg46不同理性投资者具有不同风险厌恶程度47结合投资者效用曲线的最优组合选择最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点Ｏ处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。48资产组合理论的优点首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。开创了数量分析方法在金融学当中的应用49资产组合理论的缺点当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。均值方差分析的成立条件：收益正态分布或二次型效用函数504.6不允许卖空的投资组合策略模型计算514.7两基金分离定理及其应用表述：在均方效率曲线上任意两点的线性组合，都是具有均方效率的有效组合。或：有效组合边界上任意两个不同的点代表两个不同的有效投资组合，而其他任意点均可由该两点线性组合生成几何含义：过两点生成一条双曲线。525354两基金分离定理的意义定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收益是不同的，即两基金分离。金融含义：若有两家基金都投资于风险资产，且经营良好(即达到有效边界)，则按一定比例投资于该两基金，可达到投资于其他基金的同样结果。这就方便了投资者的选择。CAL、CML实际上是在有风险资产组合和无风险资产组合之间又进行了一次两基金分离。此时投资者仅需确定一个有风险组合，即可达到各种风险收益水准的组合。资本配置更加方便。55分离定理对组合选择的启示若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capitalallocationdecision）和资产选择决策（Assetallocationdecision）。资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。56分散化的力量57585投资组合优化模型及其应用单个资产收益与风险组合资产收益组合资产风险下面通过数据来说明其应用，见Excel文件。599、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。1月-251月-25Friday,January31,202510、人的志向通常和他们的能力成正比例。15:52:2715:52:2715:521/31/20253:52:27PM11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。1月-2515:52:2715:52Jan-2531-Jan-2512、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。15:52:2715:52:2715:52Friday,January31,202513、志不立，天下无可成之事。1月-251月-2515:52:2715:52:27January31,202514、ThankyouverymuchfortakingmewithyouonthatsplendidoutingtoLondon.ItwasthefirsttimethatIhadseentheToweroranyoftheotherfamoussights.IfI'dgonealone,Icouldn'thaveseennearlyasmuch,becauseIwouldn'thaveknownmywayabout.。31一月20253:52:27下午15:52:271月-2515、会当凌绝顶，一览众山小。一月253: