北京第一七九中学2023学年高三数学理第一次诊断性考试含解析

北京第一七九中学2023年高二数学理第一次诊断性考

试含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知直线，方程为了«>)=°白5,乃)和舄分别为直线，上和，外的点，则

方程/(")-/("】)-/(与仍)=。表示()

A.过点片且与‘垂直的直线B.与‘重合的直线

C.过点舄且与，平行的直线D.不过点鸟，但与，平

行的直线

参考答案：

C

略

2.两个变量x,y与其线性相关系数r有下列说法

(1)若r>0,则x增大时，y也相应增大：

(2)若rvO,则x增大时，y也相应增大；

(3)若或「=一3则x与y的关系完全对应有函数关系［，在做点图上各个散点

均在一条直统上，其中正确的有，

A.(D@B.@®C.(D®D.

参考答案:

C

3.K的展开式中的常数项为()

A.—12B.—6C.6D.12

参考答案：

C

【分析】

化简二项式的展开式，令X的指数为零，求得常数项.

【详解】二项式展开式的通项为心=《*尸.-力'=(T)V二令

2z-4=0,r=2故常数项为(T)'*C?=6,故选c.

【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于

基础题.

4,用秦九韶算法计算多项式/⑶=6/>5?+4/+3*+2/+"7在x=0.6时的值

时.，需做加法与乘法的次数和

是(

)

A.12B.11C.10

D.9

参考答案：

A

5.已知4-耳=(：,那么n的值

是()

(A)12(B)13(C)14(D)15

参考答案：

C

6.如图，在正方体ABCD-AiBiGDi中，M.N分别为Ai&、CCi的中点，P为AD上一动

点，记q为异面直线PM与。川所成的角，则a的集合是()

A.{9B.娓WaW多

C.{靖Wawg}D.谒姿尽录

参考答案：

A

略

2位

7.已知函数丁二不+】的图像上一点(1,2)及邻近一点(1+Az2+»),则山等于

A.2+3)2B.2+AxC,2xD.2

参考答案：

B

略

8.若椭圆与双曲线的离心率之积等于1,则称这组椭圆司双曲线为李生曲线.已知曲线

Ci：925一与双曲线C2是李生曲线，且曲线C2与曲线G的焦点相同，则曲线C2的

渐近线方程为

3.34

y=-xv=±-xy=-x

A.4B.4c.3

J

y=±-x

D.3

参考答案：

D

2i

9.已知i为虚数单位，则复数13r等于（）

A.-1+iB.1-iC.2+2iI）.1+i

参考答案：

A

【考点】复数代数形式的混合运算.

【分析】复数的分子、分母同乘分母的共枕复数，虚数单位i的导运算性质，把式子化简

到最简形式.

2i2i（l+i）-2+2i

［解答］解：复数13r=（l-i）（l+i）=2=-1+i,

故选A.

10.已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆25的长轴端点、焦点，则双曲

线C的渐近线方程为（）

A.4x±3y=0B.3x±4y=0C.4x±5y=0D.5x±4y=0

参考答案：

A

【考点】双曲线的简单性质.

【专题】计算题.

【分析】依据题意，求得双曲线C的焦点坐标和实轴端点坐标，求得曲线的标准方程，

从而求得双曲线C的渐近线方程.

【解答】解：椭圆西+金口的长轴端点为（±5,0）,焦点为（±3,0）.

由题意可得，对双曲线C,焦点（±5,0）,实轴端点为（±3,0）,・・.a=3,c=5,b=4,

故双曲线C的方程为百T6=1,故渐近线方程为y=±豆I即4x±3y=0,

故选A.

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线的标准

方程是解题的关键.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.方程夕=3”+2的解为；

参考答案：

log32

12.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P(-1,0)的直线1交抛物线C于两点A,B,

点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2,则直线1的斜率等于.

参考答案：

不存在

【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

ipy=x+l

<2

【分析】由题意设直线1的方程为my=x+l,联立〔y二盘得到y2・4my+4=0,A=16ni:-

2

16=16(m-1)>0.设A(xi,Y)),B(x2,ya)»Q(x0,y0).利用根与系数的关系可

二丫产2

得y1+y2=4m,利用中点坐标公式可得,°2=2m,x«=myo-l=2m2-1.Q(2m-1,

2m),由抛物线C：y2:4x得焦点F(1,0).再利用两点间的距离公式即可得出m及k,

再代入△判断是否成立即可.

fmy^x+l

【解答】解：由题意设直线1的方程为my=x+1,联立1/二以得到y2-4my+4=0,△二16nl?

-16=16(m2-1)>0.

设A(xi,yi),B(X2,y；)»Q(x(),y(i).

yf

yn=-----------

.*.yi+y2=4m,u2=2m,.*.xo=myo-l=2m"-1.

AQ(2m2-1,2m),

由抛物线C：y~4x得焦点F(1,0).

V|QF|=2,/.V(2产-2)2+(2m)2=2,化为1n2=1,解得m=±l,不满足△>().

故满足条件的直线1不存在.

故答案为不存在.

【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐

标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力.

13.右图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米

后，水面宽米.

课金宓阂g

参考答案:

2瓶

略

14已知03。一知=%+,（"-1），，（1）气一），（1）1则

参考答案:

380

试题分析:因为0.可。-可=[2*（r-l）][112（x-I）],所以

勺=2C；m.哈妙二380

考点：二项式定理.

1114

15.若正数a,b满足a+b=l,则&一1+b-1的最小值为

参考答案:

4

【考点】基本不等式.

11a

【分析】由a+b=l得到b=a-l＞（）,代入代数式变形利用基本不等式即可得出.

1_1a

【解答】解：,・•正数a,b满足W+E=l,・・・b=a-l>0,解得a>L同理b>L

4

_1_^__i_1__/_L_，4(a-D

则a-l+b-l=a-l+a-l=a-I+4(a-1)22Ya-1=4,当且仅当

3_

a=5时取等号(此时b=3).

14

・・・a-l+b-l的最小值为4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题.

16.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影

为4,%则4冏=

参考答案：

90°

略

17.将二进制数1°"°%)化为十进制数，结果为

参考答案：

45

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩

(均为整数)分成六段M5。)，6。砌…网1。。］后画出如下部分频率分布直方

图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；

(3)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人，求他们在同一分数段的概丞.

参考答案：

(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:

f产1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03分

直方图如右所示......................4分

(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,

频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75

所以，抽样学生成绩的合格率是75%……6分

利用组中值估算抽样学生的平均分

45-fi+55・f2+65-M75・f4+85・fs+95•f«

=45X0.1+55X0.15+65X0.15+75X0.3

+85X0.25+95X0.05=71

估计这次考试的平均分是71分.................8分

(3)[70,80),[80,90).[90,100]的人数是18,15,3,

所以从成绩是70分以上[包括70分)的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。

尸二生生$=牝

C210.................................12分

19.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC1底面ABCD,。是BC中

点，AO交BD于E.(I)求证：PA.LBD；(II)求二面角P-DC-B的大小：

(ITT)求证：平面PATH•平面PAB.

参考答案：

解析：方法一：(I)证明：

,:PB=PC、POLBC,又・.・平面尸8cL平面

ABCD,平面处CPI平面ABCD=BC,二户。1平面

ABCD...2分

在梯形ABCD中，可得R&BO£RlSCD

乙BRO=Z.OAB+£DBA=乙DBC+助=90°,

即AO1£D

VPA在平面ABCD内的射影为AO,

二PALBD……4分

(II)解：且平面即CL平面ABCD

DC1平面PBC,vFCu平面

PBC,：,DC1PC

二NPCB为二面角P—DC—B的平面

角....6分

・・・AP3C是等边三角形二=60°,即二面角P-DC-B的大小为

600…8分

(Hi)证明：取PB的中点N,连结CN,vPC=BCCNLPB①

二A8LBC,且平面MC_L平面ABCD,.."Bl平面

PBC.......10分

VABC平面PAB：.平面户8cl平面PAB②

由①、②知CML平面PAB..................10分

连结DM、MN,贝IJ由MN〃AB〃CD,M"=2AB=°。，

得四边形MNCD为平行四边形，.：DA/1平面PAB.

VDMU平面PAD：.平面BW1平面PAB...........................12分

方法二；取BC的中点0,因为AP8c是等边三角形，

由侧面PBC工底面ABCD得R1L底面ABCD……1分

以BC中点。为原点，以BC所在直线为x轴，过点。与AB平行的直线为y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系0—xyz……2分

(I)证明：・・・co=i,则在直角梯形中，

AB=耽=2

在等边三角形PBC中，口=力……3分

：.4a-20),B6,0,0),D(-io),p(aa@

T_

BD=(-2.-1»0)»PA=(1.-2-5/3)

vBDW-(-2)xH(-l)x(-2)+Ox(-75)-0；,PA1BDt即RUM…4分

笳=(」o,g

(II)解：取PC中点N,则2

VDC«(O.2J).CP«(IA->/5)肃是=(-$x0+0x2+孚xO=O

TT375k

BNCP=(-i)xt+OxO+yX^=O

.•・笳，平面PDC,显然。?=(&0，V3),且晶JL平面ABCD

—>—>

:,BN、°F所夹角等于所求二面角的平面角……6分

,:BNOP•(-y)x0+0x0♦x.E-|BN|-|OP卜£

3

TT21

:.COf<BMOPXu匚.二n-n

出忑2,：二面角p-8-8的大小为

60°……8分

J1a

(III)证明：取PA的中点M,连结DM,则M的坐标为勺’

又

晟・(：，0,乎)，阳.(1，0,■品

10分

ZiWPJ4=1XI+0X(-2)+^X(-^)=0DMxl+0x0+gx(•5・0

DMLPA,DM1PB.即0MU%,DMLPB

Z)MJ_平面PAB,平面R4nL平面PAB……12分

20.(本小题12分)设｛■是公比为正数的等比数列，'产2,%=%+4

(D求SJ的通项公式；

(2)设例)是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛氏"J的前R项和当。

参考答案：

⑴勺=2：⑵S*2*1+J_2

a+a一・a•Q-5£

21.已知正项等差数列瓜｝的前n项和为S,，且满足15~3a3

(1)求数列｛数的通项公式;

(2)求数列｛3*口｝的前口项和.

参考答案：

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式.

【分析】(1)与数列｛a.是等差数列,解

/包+曳)

得a3=6.根据12位56,可得电，再根据等差数列的通项公式即可得出.

(2)利用等比数列的求和公式即可得出.

【解答】解：(1)因为数列｛a,｝是等差数列,

所以203-3&3,又“>c

所以a3=6.

7(a[+a?)

因为S广一2一二7池56,

所以a产8.

所以公差d刊-a3=2,

所以a«=a3+(n-3)d=6+(n-3)X2=2n.

(2)设数列｛3、｝的前n项和为T”

242n1n

.Tn=3+3+-+3^-'''=1-(9-l)

22.(本小题满分14分)

已知函数/⑶=xL+x+1,(awR)

(I)讨论函数/(X)的单调区间；

(二二)

(II)设函数/3)在区间3*3内是减函数，求」的取值范围.

参考答案:

解：（1）八R=3/+2“+1

△=4a3-121分

当A40时，即一指时，/'（力20,__

/。）在（-B,+CO）上递增：......................................3分

当A>0时，即4V—J5或时，/W>0,

_-a±y/a"-3

由/'（x）=°求得两根为“3......................5分

.-a-y/cP-3.1a-3、

即在~003和3'+⑼上