2024-2025学年新教材高中数学第3章不等式课时分层作业9不等式的基本性质含解析苏教版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(九)不等式的基本性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．设M＝x2＋6x，N＝5x－1，则M与N的大小关系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关A[因为M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，所以M>N，故选A．]2．已知a＞b，则“c≥0”是“ac＞bc”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2>b＝1，,c＝0))时，ac＞bc不成立，所以充分性不成立；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ac>bc，,a>b))时，c＞0成立，c≥0也成立，所以必要性成立．所以“c≥0”是“ac＞bc”的必要不充分条件，故选B．]3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则肯定有()A．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C．eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)B[因为c＜d＜0，所以0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d)，两边同乘－1，得－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0．两边同乘－1，得eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)．故选B．]4．若a＜b＜0，则下列不等式中肯定不成立的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\r(－a)＞eq\r(－b)C．|a|＞－b D．eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,b)A[因为a＜b＜0，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＞0，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，A不正确；－a＞－b＞0，eq\r(－a)＞eq\r(－b)，B正确；|a|＞|b|＝－b，C正确；当a＝－3，b＝－1，eq\f(1,a－b)＝－eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－1时，eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,b)，此时D成立．故选A．]5．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>c＋b，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列依次是()A．d>b>a>c B．d>a>c>bC．b>a>c>d D．b>c>d>aA[因为a＋b＝c＋d，a＋d>c＋b，所以2a>2c，即a>c，所以b<d．因为a＋c<b，所以a<b．综上可得d>b>a>c二、填空题6．若x>1，－1<y<0，则x，y，－y，－xy由小到大的依次是(用“<”连接)．y<－y<－xy<x[因为x>1，－1<y<0，所以0<－y<x．因为－y－(－xy)＝y(x－1)<0，所以－y<－xy，因为x－(－xy)＝x(1＋y)>0，所以－xy<x，所以y<－y<－xy<x．]7．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为．eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)[因为eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0，所以eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)．]8．已知不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a；④0<b<a；⑤b<a且ab>0；⑥a<b且ab<0．其中能使eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的序号是．①②④⑤⑥[因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇔eq\f(b－a,ab)<0⇔b－a与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使eq\f(1,a)<eq\f(1,b)．]三、解答题9．已知a>0，试比较a与eq\f(1,a)的大小．[解]a－eq\f(1,a)＝eq\f(a2－1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)．因为a>0，所以当a>1时，eq\f(a－1a＋1,a)>0，有a>eq\f(1,a)；当a＝1时，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，有a＝eq\f(1,a)；当0<a<1时，eq\f(a－1a＋1,a)<0，有a<eq\f(1,a)．综上，当a>1时，a>eq\f(1,a)；当a＝1时，a＝eq\f(1,a)；当0<a<1时，a<eq\f(1,a)．10．若a>0，b>0，求证：eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b．[证明]因为eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)－\f(b,a)))＝eq\f(a－b2a＋b,ab)．因为(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0．所以eq\f(a－b2a＋b,ab)≥0．所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b．1．若eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)＜0，则下列结论不正确的是()A．a2＜b2 B．ab＞b2C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＝|a＋b|A[由eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)＜0可得a＜b＜0，所以a2＞b2，故A错，故选A．]2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1A[由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2．又因为α<β，故知－2<α－β<0．故选A．]3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤NA[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0．所以4．四位好挚友在一次聚会上，他们依据各自的爱好选择了形态不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是()A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1A[依据四个杯的形态分析易知h2>h1>h4或h2＞h3＞h4．]5．已知a＋b>0，ab≠0求证：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)．[证明]eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq