2024-2025学年新教材高中数学第四章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.3独立性与条件概率的关系课时分层作业含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE6-课时分层作业(十二)独立性与条件概率的关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列事务中，A，B是相互独立事务的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“其次次为反面”B．袋中有2白、2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“其次次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”A[把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事务；B中是不放回地摸球，明显A事务与B事务不相互独立；对于C，A，B应为互斥事务，不相互独立；D是条件概率，事务B受事务A的影响．故选A.]2．若0＜P(A)＜1，且P(B|A)＝P(B)．若P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.6，P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，则P(AB)等于()A．0.12 B．0.8C．0.32 D．0.08D[由P(B|A)＝P(B)可知事务A，B相互独立，∴P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))＝P(B)＝0.2，又P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝0.6，∴P(A)＝0.4，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.2＝0.08.故选D.]3．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq\f(2,3)表示()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率C[分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事务A，B，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A，B相互独立，所以1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).依据互斥事务可知C正确．]4．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队须要再赢两局才能得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,2)A[问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq\f(1,2)；其次类，需竞赛2局，第一局甲负，其次局甲赢，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).]5．如图所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)A[“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事务A，则P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事务B，则P(B)＝eq\f(2,3)，事务A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，故选A.]二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．eq\f(3,5)[“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事务B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事务C，则P(B)＝eq\f(C\o\al(1,160),C\o\al(1,200))，P(C)＝eq\f(C\o\al(1,180),C\o\al(1,240)).∴P(B∩C)＝P(B)·P(C)＝eq\f(C\o\al(1,160),C\o\al(1,200))·eq\f(C\o\al(1,180),C\o\al(1,240))＝eq\f(3,5).]7．甲、乙两个袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为________．eq\f(1,9)[由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事务相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，从乙袋中取出红球的概率为eq\f(1,6)，所以所求事务的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,9).]8．台风在危害人类的同时，也在爱护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星精确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报精确的是________．0.902[设甲、乙、丙预报精确依次记为事务A，B，C，不精确记为eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(eq\x\to(A))＝0.2，P(eq\x\to(B))＝0.3，P(eq\x\to(C))＝0.1，至少两颗预报精确的事务有ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC，ABC，这四个事务两两互斥且独立．所以至少两颗预报精确的概率为P＝P(A∩B∩eq\x\to(C))＋P(A∩eq\x\to(B)∩C)＋P(eq\x\to(A)∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]三、解答题9.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，且是相互独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图所示的电路中，求电路不发生故障的概率．[解]记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事务A1，A2，A3，则P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4).不发生故障的事务为(A2∪A3)∩A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)∩A1]＝[1－P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)]·P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).10．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率．[解]设事务C为“取出的数不大于50”，事务A为“取出的数是2的倍数”，事务B为“取出的数是3的倍数”．则P(C)＝eq\f(1,2)，且所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq\f(PAC,PC)＋eq\f(PBC,PC)－eq\f(PABC,PC)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq\f(33,50).11．(多选题)设两个独立事务A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则下列说法正确的是()A．事务A与B发生的概率相同B．P(A)＝eq\f(1,3)C．P(B)＝eq\f(2,3)D．P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝eq\f(2,9)ACD[因为事务A，B相互独立，由P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))可得[1－P(A)]P(B)＝P(A)[1－P(B)]，即P(A)＝P(B)．又P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，即1－P(A)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3).∴P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9).结合选项可知ACD正确，故选ACD.]12．甲、乙两人独立解某道数学竞赛题，已知该题被甲单独解出的概率为0.6，被甲、乙至少一人解出的概率为0.92，则该题被乙单独解出的概率是()A．0.32 B．0.2C．0.68 D．0.8D[设该题被乙单独解出的概率为P，由题意可知甲、乙都没有解出该题的概率为1－0.92＝(1－0.6)(1－P)，解得P＝0.8，故选D.]13．(一题两空)已知A，B是相互独立事务，且P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(B,\s\up6(－)))＝________，P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝________.eq\f(3,4)eq\f(1,12)[∵A，B是相互独立事务，∴eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也是相互独立事务，∴P(eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)[1－P(B)]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12).]14．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________．eq\f(5,16)[由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事务A，则P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为eq\f(5,16).]15．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋竞赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘竞赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．[解]设甲胜A的事务为D，乙胜B的事务为E，丙胜C的事务为F，则eq\x\to(D)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事务．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事务的概率公式知P(eq\x\to(D))＝0.4，P(eq\x\to(E))＝0.5，P(eq\x\to(F))＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事务有D∩eq\o(\x\to(E))∩eq\o(\x\to(F))，eq\x\to(D)∩E∩eq\x\to(F)，eq\o(\x\to(D))∩eq\o(\x\to(E))∩F，以上3个事务彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P1＝P[(D∩eq\o(\x\to(E))∩eq\o(\x\to(F)))∪(eq\x\to(D)∩E∩eq\x\to(F))∪(eq\o(\x\to(D))∩eq\o(\x\to(E))∩F)]＝P(D∩eq\o(\x\to(E))∩eq\o(\x\to(F)))＋P(eq\x\to(D)∩E∩eq\x\to(F))＋P(eq\o(\x\to(D))∩eq\o(\x\to(E))∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事务有：D∩E∩eq\x\to(F)，D∩eq\x\to(E)∩F，eq\x\to(D)∩E∩F，D∩E∩F.由于以上四个事务两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(D∩E∩eq\x\to(F))＋P(D∩eq\x\to(E)∩F)＋P(eq\x\to(D)∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＝