2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用二4.5.3函数模型的应用课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-第四章4.54.5.3A组·素养自测一、选择题1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，一般车存车费是每辆一次0.2元．若一般车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)[解析]据题意知：y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)．2．某企业生产的一种电子产品的成本是每件500元，安排在今后的3年内，使成本降低到每件256元，则平均每年成本应降低(C)A．10% B．15%C．20% D．35%[解析]设平均每年降低百分比为x，则500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故选C．3．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为(C)A．100km B．125kmC．150km D．225km[解析]t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故选C．4．设某产品2024年12月底价格为a元(a>0)，在2024年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2024年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是(A)A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定[解析]由题意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故选A．5．(2024·济南济钢中学高一期中测试)某种新药服用xh后血液中残留量为ymg，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240mg时，治疗有效．设某人上午8∶00第一次服药，为保证疗效，则其次次服药最迟的时间应为(C)A．上午10∶00 B．中午12∶00C．下午4∶00 D．下午6∶00[解析]由图象可知，当x∈[0,4]时，设y＝kx，代入点(4,320)，得320＝4k，∴k＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝320,20k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－20,b＝400)).∴y＝400－20x.当x∈[0,4]时，由80x≥240，得3≤x≤4，当x∈[4,20]时，由400－20x≥240，得4≤x≤8，∴3≤x≤8.∴其次次服药应在第一次服药8小时后，即当日16∶00时．6．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1[解析]设年平均增长率为x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故选C．二、填空题7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是__y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)__.[解析]依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．8．某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量状况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2024年为第1年)之间的关系统计如下：x1234f(x)4.005.627.008.86则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是__①__.[解析]若模型为②，则f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此时f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则依据表中数据得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝4，,f3＝7，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2)，))经检验是最适合的函数模型．三、解答题9．某纪念章从2024年10月1日起起先上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价(单位：元)与上市时间(单位：天)的数据如下：上市时间x天41036市场价y元905190(1)依据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的改变关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．[解析](1)选取②y＝ax2＋bx＋c.理由如下：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx明显都是单调函数，不满意题意，∴选取y＝ax2＋bx＋c.(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,1296a＋36b＋c＝90，))解得a＝eq\f(1,4)，b＝－10，c＝126.∴y＝eq\f(1,4)x2－10x＋126＝eq\f(1,4)(x－20)2＋26，∴当x＝20时，y有最小值ymin＝26.故当纪念章上市20天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为26元．B组·素养提升一、选择题1．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度均加速开走，那么(D)A．人可在7s内追上汽车B．人可在10s内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5mD．人追不上汽车，其间距最少为7m[解析]设汽车经过ts行驶的路程为sm，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D．2．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率(eq\f(销售价－进价,进价)×100%)由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(B)A．12 B．15C．25 D．50[解析]设原来的进货价为m元，则由题意得m(1＋r%)＝m(1－8%)[1＋(r＋10)%]，解得r＝15，故选B．3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以匀称速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，假如水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是(D)[解析]水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一起先增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D．4．(多选题)下面是一幅统计图，依据此图得到的以下说法中正确的是(ABD)A．这几年生活水平逐年得到提高B．生活费收入指数增长最快的一年是2024年C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2024年D．虽然2024年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善[解析]由题意知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在2024～2024年最陡，故B正确；“生活价格指数”在2024～2024年比较平缓，故C错；2024年“生活价格指数”降低，而“收入指数”上升．因此生活水平有较大改善，故D正确，故选ABD．二、填空题5．一种特地侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__45__min，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．[解析]设过n个3min后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15.故时间为15×3＝45(min)．6．(2024·济南济钢中学高一期中测试)生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所须要的时间)为5730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有__2161__年．(参考数据：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，结果精确到年)[解析]设生物死亡的年数为x年，由题意得(eq\f(1,2))eq\f(x,5730)＝77%，∴eq\f(x,5730)＝logeq\f(1,2)0.77＝eq\f(lg0.77,lg\f(1,2))＝eq\f(－0.1135,－0.3010)＝eq\f(1135,3010)，∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴该古墓距出土时约有2161年．三、解答题7．某企业生产A，B两种产品，依据市场调查与预料，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：假如你是厂长，怎样安排这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析](1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).依据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴总利润y＝8.25万元．②设B产品投入x万元