特征函数及其应用

PAGE6特征函数及其应用1引言在概率论和数理统计中，我们学习了特征函数，发现了它可以更高级、优越、方便的表示出一般的随机变量的统计规律．是研究随机变量的重要工具．本文将向大家详细的阐述特征函数的基本概念，性质以及特征函数的应用和一些相关定理的证明．2特征函数2.1特征函数的定义设是定义在样本空间上的随机变量．称的复值函数cos+sin的数学期望+其中，，为随机变量的特征函数，记为．特征函数一般为实变量的复值函数，它对一切有定义．事实上，当是连续型随机变量时，对，总有若为离散型随机变量，则因此，任一随机变量，必有特征函数存在．2.2特征函数的性质有界性：一致连续性：在上一致连续非负定：对个实数，，及复数，，，总有，这里表示的共轭若，，，为常数，则设的特征函数分别为，，又与相互独立，则的特征函数为2.3特征函数与矩的关系在以前的学习中，我们发现求随机变量的各阶矩往往需要作繁难的求无穷级数和或无穷积分的计算，有时应用一定的技巧方可计算出结果．现在我们有了特征函数这一优越的工具后，可以通过对特征函数求导的方法来计算随机变量的矩．设随机变量有阶矩存在，则的特征函数可微分次，且对，有设有密度函数，则=由于的阶矩存在，即有从而可以在积分号下对求导次，于是对，有令即得当是离散型随机变量时，证明也是类似的．由这个性质，在求的各阶矩（如果他们存在的话），只要对的特征函数求导即可．而从定义出发是要计算积分的，大家都知道，求导一般总是要比求积分简单的多，所以可以这样说：特征函数提供了一条求各阶矩的捷径2.4几种常见分布的特征函数单点分布设服从单点分布，即，则两点分布设，即，，则二项分布设，，则普哇松分布设为普哇松分布，即，，，则均匀分布设在上均匀分布，即则指数分布设服从参数为的指数分布，即故由数学分析知道由此可得正态分布设服从分布，把分布的密度函数代入中，即有其中是利用复变函数中的围道积分求得的．例1求分布的数学期望和方差解已知分布的特征函数为于是由有由此即得从这里我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差，要比从定义去证更方便2.5特征函数与分布函数的关系逆转公设随机变量的分布函数为，特征函数为，又与为的任意两个连续点，则有其中，当时，按连续性延拓定义由特征函数的定义可知，随机变量的分布函数唯一的确定了它的特征函数．反过来，由唯一性定理可知特征函数可以唯一地确定它的分布函数．从而由特征函数来确定分布函数的式子也常常称为“逆转公式”．唯一性定随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定．3特征函数的应用3.1特征函数在求独立随机变量和的分布上的应用设，的特征函数分别为，，又与相互独立，则的特征函数为因为与相互独立，由以前的知识我们知道与也相互独立，于是由数学期望的性质即得利用归纳法，不难把上述性质推广到个独立随机变量的场合，若，，是个相互独立的随机变量，相应的特征函数为，，…，则的特征函数为例2设，，是个相互独立的，且服从分布的正态随机变量，试求的分布．解已知的分布为，故相应的特征函数为由特征函数的性质可知的特征函数为而这是分布的特征函数，由分布函数与特征函数的一一对应关系即知服从分布．这正是我们所熟知的可加性，这里用特征函数作为工具证明了这个可加性．3.2在普哇松分布收敛于正态分布上的应用连续性定分布函数列弱收敛于分布函数的充要条件是相应的特征函数列收敛于的特征函数．例3若是服从参数为的普哇松分布的随机变量，证明：证明已知的特征函数为，故的特征函数为对于任意的，有，于是，从而对任意的点列，有但是是分布的特征函数，由连续性定理即知有成立，因为是可以任意选取的，这就意味着成立．即“普哇松分布收敛与正态分布”．3.3在证明辛钦大数定律上的应用若，…是独立同分布随机变量序列，且，，则，证明因为，…有相同的分布，所以也有相同的特征函数，记这个特征函数为，又因为存在，从而特征函数有展开式再由独立性知的特征函数为对任意取定的，有已知是退化分布的特征函数，相应的分布函数为由连续性定理知的分布函数弱收敛于，因是常数，则有故辛钦大数定律成立．3.4在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在重贝努里试验中，事件在每次试验中出现的概率为，为次试验中事件出现的次数，则要证明这个式子我们只需证明下面的这个式子，因为它是下面的式子的一个特例，证明了下面的式子，也就证明了它．若，，…是一列独立同分布的随机变量，且，，，，…则有证明设的特征函数为，则的特征函数为又因为，，所以，于是特征函数有展开式从而对任意固定的，有，而是分布的特征函数，由连续性定理知