平移和几何最值问题-4.28

平移和几何最值问题题型一：平移解题思路：主要是使相等或有特殊关系的线段通过平移构造到同一三角形或四边形中=1\*GB3①若，并相交，平移与共顶点，会出现平行四边形和等腰；=2\*GB3②若，无交点，平移与共顶点，同样会产生平行四边形和等腰．典例1：如图所示，为等边三角形，是内任一点，，，，若的周长为12，则等于多少？解析：过F作，过D作∵，，∴四边形FPEN和四边形MDPF是平行四边形∵△ABC是等边三角形∴∴△AFN和△MBD是等边三角形∴PF=MD=MB,PE=FN=AF,PD=FM∵等边周长为12∴PF+PD+PE=BM+MF+AF=AB=4典例2：如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为()A． B． C． D．..解析：如图，B【题型延伸】平移的辅助线构造方法【延伸1】平移共端点1.两线段相交有交点变式1：如图，，，，，则线段的长为．解析：如图，3．2.两线段相交无交点变式2：如图，，，，，则线段的长为．解析：如图，．3.过中点平移【延伸2】平移使重合1.平行变式3：已知平行四边形对角线上有点，连接、，且，求证：平行四边形是菱形．:解析：如图，四边形为等腰梯形，对角线相等可得．2.共线变式4：在凸四边形ABCD中，∠BAD+∠CBA≤180°，点E、F为边CD上的两点，且DE=FC．求证：AD+BC≤AE+BF．解析：利用平移，如图(1)，将△ADE沿着DC的方向平移，使得DE和FC重合得到△GFC，故AD+BC=GF+BC，AE+BF=GC+BF，可证AD+BC≤AE+BF.题型二：面积解题思路上图中的面积关系依次是：；；；；；典例:如图，在矩形中，过上一点分别作矩形两边的平行线和，那么图中矩形的面积，矩形的面积．解析：∵，，，∴．变式：如图，矩形内有一点．求证：⑴；⑵．解析：⑴如图1，过点作，分别交、于点、．，同理可证．⑵方法一：如图1，在、、、中，，，∵，，∴．方法二：如图2，过点作且，连接、．可知四边形、是平行四边形，∴，，∵∴利用任意对角线垂直的四边形的对边平方和相等的结论可得，即．题型三：最值问题解题思路：最值问题主要是利用三大变换实现线段的集散，解题核心思想：①两点之间线段最短；②点到直线之间垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边．典例:如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．（1）证明：（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，则正方形的边长为．解析：⑴∵是等边三角形，∴，.∵，∴，即.又∵，∴（SAS）⑵如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小．理由如下：连接，由⑴知，FEADBCNMFEADBCNM∵，，∴是等边三角形，∴.∴根据“两点之间线段最短”，得最短∴当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长⑶正方形的边长为，过点作交延长线于，∴90°－60°＝30°.设正方形的边长为，则，.在中，∵，∴解得，（舍去负值）.∴正方形的边长为【分析】本题实质为寻找三角形的费马点，而找费马点的过程即为旋转的过程，其旋转角为60°，而60°旋转不论是在三角形还是四边形中都为常考内容，需要同学们熟练掌握．此题在题干部分已提示作法，并通过⑴⑵两问进行了逐步引导，具有很强的可操作性和训练价值，程度好的班级可适当拓展费马点的相关知识点．变式：⑴如图1所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．D．⑵如图2，边长为6的菱形中，，、分别为、边上的动点，则的最小值为．⑶如图3，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A．B．C．D．图1图2图3解析：⑴A．分析：．⑵，如图，将点对称到点，过点作垂线，垂足即为，交于点．．⑶先把问题转化成平面上两点间线段最短问题．故需要把长方体的表面展开，有三种可能：按右上展开按右前展开按后上展开．综上，选B．巩固提升平移巩固1：如图:,将一块斜边长为12cm，的直角三角板，绕点沿逆时针方向旋转90°到的位置，再沿向右平移，使点刚好落在斜边上，那么此三角板向右平移的距离为__________．解析：．面积巩固2：如图，□ABCD中，、交于点，作□，连结交于点，作□，连结交于点，……，以此类推．若，，，则□的面积是