备战2023年高考数学一轮复习-第1讲-集-合

第1讲集合第一章集合、常用逻辑用语与不等式考向预测核心素养集合的运算及两集合间的包含关系是考查的热点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，题型一般为选择题，在第1或第2题的位置，低档难度.数学抽象、数学运算、逻辑推理01基础知识回顾一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是_______或_______关系，用符号____或___表示．(3)集合的表示法：_______、________、________．(4)常见数集的记法确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR

表示关系

自然语言符号语言图形语言子集集合A中_________元素都是集合B中的元素_______________真子集集合A⊆B，但存在元素________________________________集合相等集合A，B中元素相同A＝B2.集合间的基本关系任意一个A⊆B(或B⊇A)x∈B，且x∉AA

B(或B

A)

集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝________________A∩B＝_________________∁UA＝_______________3.集合的基本运算{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}

常用结论1．空集的性质空集不含任何元素，空集是任意一个集合A

的子集，即∅⊆A.2．集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.(4)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.3．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．二、教材衍化1．(人A必修第一册P5习题1.1T1(4)改编)若集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，则(

)A．8∈A B．9.1∈AC．{8}∈A D．{9.1}⊆A√2．(人A必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________．解析：把集合A，B在数轴上表示如图．由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因为∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．答案：{x|x≤2或x≥10}

{x|2＜x＜3或7≤x＜10}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(

)(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(

)(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.(

)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(

)×√××二、易错纠偏1．(多选)(混淆元素、集合间的关系致误)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(

)A．∅⊆A B．－2∈AC．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}解析：因为A＝{0，2}，所以∅⊆A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y＜3}均正确，－2∉A，故选ACD.√√√2．(混淆子集与真子集的定义致误)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为(

)A．3

B．4C．6

D．7解析：因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.√3．(多选)(忽视空集致误)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝(

)A．3B．2

C．1

D．0解析：当m＝0时，可得集合B＝∅，此时满足B⊆A；当m≠0时，可得集合B＝综上，实数m等于0，2或3.

√√√02核心考点共研考点一集合的概念(自主练透)复习指导：1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．1．(2022·常州市前黄高级中学高三适应性考试)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(

)A．3

B．4

C．5

D．6解析：由题知，当y＝5时，x＋y的值有6，7，8，9，当y＝6时，x＋y的值有7，8，9，10，于是得C＝{6，7，8，9，10}，所以C中元素的个数为5.√√A.1 B.－1C.2 D.－2A．a＋b∈P B．a＋b∈QC．a＋b∈M D．a＋b不属于P，Q，M中的任意一个解析：因为a∈P，所以a＝2k1，k1∈Z.因为b∈Q，所以b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1＝2k＋1∈Q(k1，k2，k∈Z)．√√√4．(多选)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(

)解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根．与集合中元素有关问题的求解步骤步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集．步骤二：看这些元素满足什么限制条件．步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二集合间的基本关系(思维发散)复习指导：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．

(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(

)A．1B．2C．3D．4【解析】

(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．√(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A⊆B，则m的取值范围是________．【答案】[3，＋∞)

(链接常用结论1)本例(2)中，若“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，则m的取值范围是________．解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m＞0时，因为A＝{x|－1＜x＜3}．当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，所以0＜m≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1](1)判断两集合关系的2种常用方法列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．[提醒]

题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．√解析：由题意，得集合M＝{y|y≤0}，而集合N＝{y|y>0}，所以∁RN＝{y|y≤0}，则M＝∁RN，故C正确．2．(链接常用结论3)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(

)A．7B．8

C．15

D．16解析：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．√√√考点三集合的基本运算(多维探究)复习指导：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．角度1集合的运算

(1)(2021·新高考卷Ⅰ)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(

)A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【解析】

(1)由题易知A∩B＝{2，3}，故选B.√(2)(2021·高考全国卷乙)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(

)A．∅

B．SC．TD．Z【解析】

(2)S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以T∩S＝T.√角度2利用集合的运算求参数

(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(

)A．－4B．－2C．2

D．4√(2)设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，集合B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则a的值为(

)A．2B．4C．2或－2D．－2√

本例(1)中，若“A∩B＝{x|－2≤x≤1}”改成“A∩B⊆{x|－2≤x≤1}”，则实数a的取值范围是________．综上，实数a的取值范围是a≥－2.答案：[－2，＋∞)角度3集合的新定义问题

(1)(2022·南阳一中第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sinα，cosα}，则集合A⊙B的所有元素之和为(

)A．1

B．0C．－1 D．sinα＋cosα【解析】

(1)因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sinα，cosα，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sinα，0，sinα，－cosα，cosα，所以所有元素之和为0.√(2)(2022·保定一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sinx，x∈R}，那么P－Q＝(

)A．{x|0＜x≤1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜1}【解析】(2)由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}．√(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，则常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍．②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性)．(3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点①准确转化．解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．②方法选取．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．|跟踪训练|1．(2021·高考全国卷乙)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝(

)A．{5}

B．{1，2}C．{3，4}

D．{1，2，3，4}解析：因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}．又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．√√3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(

)A．2B．3C．4D．6解析：由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4.√4．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个．解析：由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：603课后达标检测√[A基础达标]1．(2022·湖南师大附中高二入学考试)已知集合A＝，且2∈A，则实数m的值为(

)A．0

B．1

C．2

D．3解析：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，又m≠0，故m＝3.2.(2022·豫北名校联盟4月联考)已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0<x<8}，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为(

)A．4B．3C．2

D．1解析：B＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，图中阴影部分表示的集合为∁BA＝{2，4，7}，共3个元素．√√3．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有(

)A．7个

B．8个

C．15个

D．16个解析：因为集合A＝{1，2，3}，所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7(个)．4．(2021·高考全国卷甲)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝，则M∩N＝(

)A．{7，9} B．{5，7，9}C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9}√√6．(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是(

)A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}C．{1} D．{1，－2，2}解析：由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1，1}，{1}．√√7．(2022·福建厦门质量检查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为(

)A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]解析：集合A＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x<a}．因为B⊆A，所以a≤1.√8．设集合A＝{－1，1，2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1，2}，则a的值为______