全书课件：概率(理工类)(第二版)

第1章随机事件与概率第2章随机变量及其概率分布第3章随机变量的数字特征概率统计第1章随机事件与概率1.4条件概率、乘法公式与事件的独立性

1．4．1条件概率与乘法公式1.4.2事件的相互独立性返回1．4．1条件概率与乘法公式

在实际问题中，除了要计算事件A的概率P（A）外，有时还需要计算在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的概率。这时用记号表示。由于增加了条件：“事件B已发生”，所以称为条件概率。一般说来，与P（A）是不相等的。设事件A={出现4点}，例如，在掷一颗骰子中，则P（A）=

，如果事件B={出现偶数点}已发生，这时出现A的概率=显然≠P（A）。返回例1某班级有40名学生，其中男女生各半，一次测验中男女生成绩优秀的分别为2人和4人。从中任选一名学生，试问：（1）该学生成绩优秀的概率是多少？（2）已知选出的是男生，他的成绩优秀的概率是多少？解设A表示“选出的学生成绩优秀”，B表示“选出的学生是男生”。按古典概型的计算方法，得：（1）P（A）=

；（2）P(A|B)=

显然这时一般情况下，与是不同的。另外，与也是不同的，是A发生且B也发生的概率，即A与B同时发生的概率。从此例看出，AB表示“选出的是男生而且成绩优秀”，则P（AB）=

P(A|B)进一步观察发现，P(A|B)=

,而且此公式具有普遍意义。定义1设A，B是两个事件，且P（B）＞0，称P(A|B)=

为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率。件概率公式揭示了条件概率P（A|B）与事件概率P（B）和积事件概率P（AB）

三者之间的关系。类似地，当P（A）＞0时，P(A|B)=

例2已知某厂产品的合格品率为96%，而合格品中的一等品率为75%.试求该厂产品的一等品率。解设A表示“任取一件为合格品”，B表示“一等品”，所以AB=B由题意，则所求概率为例3盒中有5个黑球3个白球，连续不放回地从中取两个球，每次取一个，若已知第一次取出的是白球，求第二次取出的是黑球的概率。解设A表示“第一次取出的是白球”，B表示“第二次取出的是黑球”，所求概率为由于第一次取出的是白球，所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球，由古典概型的概率计算方法，得当P（A）＞0时，P（AB）=P（A）P（B|A）当P（B）＞0时，P（AB）=P（B）P（A|B）由条件概率公式，这就是概率的乘法公式。此公式还可以推广到多个事件的情形：若P（AB）＞0，则P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）。乘法公式的作用在于利用条件概率计算积事件的概率，它在概率计算中有着广泛的应用。1.4.2事件的相互独立性例4

在20个产品中有2个次品，从中接连抽两个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个产品。求(1)第二次抽到次品的概率；(2)第一次抽到次品后，第二次也抽到次品的概率；(3)第一次抽到正品后，第二次抽到次品的概率。解设A={第一次抽到次品}B={第二次抽到次品}(1)不论第一次抽到的是正品还是次品，都要放回，所以第二次抽到次品的概率P(B)=

(2)第一次抽到次品后，第二次也抽到次品的概率为P(B/A).因为第一次抽到次品后仍放回，这时产品总数没有变化，次品数也没有变化，所以P(B/A)=

返回先看下面的例子：(3)类似地，可求得P(B/)=

由(1),(2),(3)可见==即A发生与否不影响事件B发生的概率，对于这样的事件A和B，给出如下定义：定义2如果事件A的发生不影响事件B发生的概率，即=则称事件B与A是相互独立的。由定义和概率的乘法公式可得，事件A与B相互独立的充要条件是：P(AB)=P(A)P(B)事件的独立性具有以下性质：(1)必然事件及不可能事件与任何事件相互独立；(2)若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立。例5

生产一种产品需要两道工序，经过第一道工序时，出废品的概率为0.02，经过第二道工序时，出废品的概率为0.03，两道工序由两台独立工作的机床加工。问，这样加工出来的正品率是多少？解设A={第一道工序正品}B={第二道工序正品}

C={产品为正品}则C=AB==因为事件A与B是相互独立的,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.98×0.97=0.9506=95.06%即产品的正品率为95.06%.事件的独立性概念也可以推广到有限个事件。定义3设是n个随机事件，如果对其中的任何k个事件均有P（

则称相互独立。例6设三台机床正常工作的概率分别是0.95、0.90、0.85，求在任一时刻：（1）三台机床都正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台正常工作的概率。解三台机床工作正常与否是相互独立的，用表示事件“第i台机床正常工作”，则（1）所求事件的概率为（2）所求事件的概率为第2章随机变量及其概率分布

2.3随机变量的分布函数

2.3.1分布函数2.3.2正态分布的概率计算

返回定义1设X是随机变量，函数称为随机变量X的分布函数，其中x为任意实数。对于离散型随机变量X，设其分布列为

xx1x2……xk….pp1p2…….pk…..

2.3.1分布函数返回而对于连续型随机变量X，设其密度函数为，则由分布函数的定义，F(x)的取值不是X取某个值的概率，而是X在区间(2)(1)是的单调不减函数(3)上概率的累积。分布函数有如下性质：(4)，特别地：例1设X的分布列为x

012p

0.50.30.2(1)求X的分布函数F(x)；(2)作出分布函数的图形；F(x)(3)求P{0＜X≤1}，P{0＜X＜1}及P{0≤X≤1}.解（1）X只在三处取值，且相应的概率为。所以

（2）F(x)的图形如图2-5所示。

图2-5P{0＜X≤1}（3）==

P{0＜X＜1}====P{0＜X≤1}-P{X=1}P{0＜X≤1}+P{X=0}

P{0≤X≤1}例2设X在[a,b]区间上服从均匀分布，(1)求X的分布函数；(2)画出X的密度曲线及分布函数F(x)的图形；(3)求P{a＜X≤2}(a<2<b)的密度函数为解（1）X当时，当时，当时，

（a）(b)

图2-6（2）的图形如图-6所示。与F(x)（3）P{a＜X≤2}

或由分布函数的性质P{a＜X≤2}====2.3.2正态分布的概率计算

由于正态分布的密度函数的积分不能用初等函数表示，为此数学家们已经编制了正态分布表，但正态分布表都是对标准正态分布作出的，标准正态分布的分布函数记为，而将其密度函数记为。返回1.标准正态分布的概率计算公式由标准正态分布密度函数的对称性，容易得出如下公式：(1)(2)(3)(4)(5)例3

已知X～N(0，1)，求P{X＜1.58}；P{X≥-2.14};P{0＜X≤2.31};P{|X|＜1.96}。解利用标准正态分布表可得P{X＜1.58}=P{X≥－2.14}P{0＜X≤2.31}P{|X|＜1.96}2.一般正态分布的概率计算一般正态分布可以转化为标准正态分布计算。若X～N，则于是，若记的分布函数为XF(x)，则例4已知X～N，求解

例5

设X～N()，求

解

第3章随机变量的数字特征

3.1数学期望

3.1.1离散型随机变量的数学期望3.1.2连续型随机变量的数学期望3.1.3数学期望的性质返回3.1.1离散型随机变量的数学期望例1为了测定一批种子发芽所需的平均天数，随机选取100粒种子进行发芽试验，其中发芽的有98粒，有关种子的发芽情况见下表：发芽天数123456发芽种子数1121352092频率

试求种子发芽所需的平均天数。返回解98粒种子发芽所需的平均天数为(天)这一数学概念经常用到，如计算学生的平均成绩等。这便是概率论中的重要概念——数学期望。定义1设离散型随机变量X的分布律为则和数叫做随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记作E(X)。例2

设随机变量X的分布列为X012p0.30.50.2求E(X)。

解

例3甲乙两台机床日生产能力相当，一天生产废品件数的概率分布如下表，问哪一台机床的性能好些？

甲

机

床乙

机

床01230123p0.30.50.20p0.30.30.20.2解

=

=

显然甲机床性能要好些。

例4某家电商场对某品牌冰箱采用先使用后付款的方式进行促销。若记使用寿命为X(以年计)，规定：当X≤1，一台付款1500元；当1＜X≤2，一台付款2000元；当2＜X≤3，一台付款2500元；当X＞3，一台付款3000元。设寿命X服从指数分布，概率密度为试求该品牌冰箱的平均售价。解先求出寿命X在各个时间区间的概率：P{X≤1}=

P{1＜X≤2}=

P{2＜X≤3}=

P{X＞3}=

设Y为一台冰箱所付的款数，则Y的分布列为：Y1500200025003000p0.09520.08610.07990.7408于是E(Y)=

即该品牌冰箱每台平均售价约为2732元。几个常见随机变量的数学期望：二点分布的分布列为1.两点分布X01pqp其中，则两点分布的期望是：E(X)=0×q+1×p=p二项分布的分布列为：2.二项分布所以

这里用到分布列的性质：即二项分布的期望是E(X)=np。

3.泊松分布泊松分布的分布列为：所以这里用到分布列的性质：即泊松分布的期望是E(X)=λ.3.1.2连续型随机变量的数学期望