2024-2025学年新教材高中数学单元素养评价第四章三角恒等变换作业含解析北师大版必修第二册

PAGE单元素养评价（三）(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.(2024·全国Ⅲ卷)已知2tanθ-tanQUOTE=7,则tanθ=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【命题意图】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值,属于中档题.【解析】选D.由题意可知2tanθ-QUOTE=7,整理得:2tanθ-2tan2θ-1-tanθ=7-7tanθ,解得tanθ=2.【补偿训练】(2024·东莞高一检测)若sinα+cosα=QUOTE,则tanα+QUOTE的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】选B.tanα+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,又sinα+cosα=QUOTE,所以sinαcosα=QUOTE,所以tanα+QUOTE=2.2.(2024·肇庆高一检测)函数y=sinQUOTE+sinQUOTE的最小值为()A.QUOTE B.-2 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选C.y=sinQUOTE+sinQUOTE=sin2xcosQUOTE+cos2xsinQUOTE+sin2xcosQUOTE-cos2xsinQUOTE=QUOTEsin2x,所以函数y的最小值为-QUOTE.3.(2024·长沙高一检测)已知sinQUOTE=cosQUOTE,则sin2α=()A.-1 B.1 C.QUOTE D.0【解析】选A.因为sinQUOTE=cosQUOTE,所以QUOTEcosα-QUOTEsinα=QUOTEcosα-QUOTEsinα,可得QUOTEcosα=QUOTEsinα,所以tanα=-1.因此sin2α=2sinαcosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.4.若sin(π-α)=-QUOTE且α∈QUOTE,则sinQUOTE=()A.-QUOTE B.-QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.sin(π-α)=sinα=-QUOTE,又α∈QUOTE,所以cosα=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.由cosα=2cos2QUOTE-1,QUOTE∈QUOTE得cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sinQUOTE=cosQUOTE=-QUOTE.5.(2024·南昌高一检测)已知函数f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE,则fQUOTE等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.f(x)=cos2QUOTE·cos2QUOTE=QUOTE·QUOTE,=QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE.6.(2024·襄阳高一检测)被誉为“中国现代数学之父”的闻名数学家华罗庚先生提倡的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了特别广泛的应用.0.618就是黄金分割比t=QUOTE的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18°,则QUOTE=()A.4 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选D.把t=2sin18°代入QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.7.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(QUOTEsinA,sinB),n=(cosB,QUOTEcosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为m·n=QUOTEsinAcosB+sinB·QUOTEcosA=QUOTEsin(A+B)=QUOTEsinC=1-cosC,所以sinQUOTE=QUOTE,又因为0<C<π,所以C+QUOTE=QUOTE,故C=QUOTE.8.(2024·杭州高一检测)在△ABC中,若sin(B+C)sin(B-C)=sin2AA.等腰三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形【解析】选C.因为0<A<π,所以sinA>0,同理sinC>0,因为sin2A=sinQUOTEsinQUOTE=sinQUOTEsinQUOTE=sinAsinQUOTE,所以sinQUOTE=sinA=sinQUOTE,则sinBcosC-cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC可得cosBsinC=0,所以cosB=0,因为0<B<π,所以B=QUOTE.因此△ABC是直角三角形.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.(2024·潍坊高一检测)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=QUOTE,则下列结论正确的是()A.θ∈QUOTE B.cosθ=-QUOTEC.tanθ=-QUOTE D.sinθ-cosθ=QUOTE【解析】选ABD.因为sinθ+cosθ=QUOTE①,所以QUOTE=QUOTE,即sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=QUOTE,所以2sinθcosθ=-QUOTE,因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,所以θ∈QUOTE,所以QUOTE=1-2sinθcosθ=QUOTE,所以sinθ-cosθ=QUOTE②,①加②得sinθ=QUOTE,①减②得cosθ=-QUOTE,所以tanθ=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.10.(2024·南京高一检测)已知α,β是锐角,cosα=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,则cosβ=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.-QUOTE【解析】选AC.由α是锐角,cosα=QUOTE,则sinα=QUOTE=QUOTE,又α,β是锐角,则-β∈QUOTE,得α-β∈QUOTE,又cosQUOTE=QUOTE,则sin(α-β)=±QUOTE,则cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=QUOTE×QUOTE±QUOTE×QUOTE=QUOTE,得cosβ=QUOTE或cosβ=QUOTE.11.(2024·沈阳高一检测)关于函数f(x)=3sinxcosx+3QUOTEsin2x-QUOTE+1,下列命题正确的是()A.由fQUOTE=fQUOTE=1可得x1-x2是π的整数倍B.y=f(x)的表达式可改写成f(x)=3cosQUOTE+1C.y=f(x)的图象关于点QUOTE对称D.y=f(x)的图象关于直线x=-QUOTE对称【解析】选BD.因为f(x)=3sinxcosx+3QUOTEsin2x-QUOTE+1,所以f(x)=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x+1=3sinQUOTE+1.A.由f(x)=3sinQUOTE+1=1得sinQUOTE=0,又函数的最小正周期T=π,则x1-x2是QUOTE=QUOTE的整数倍,故A错误,B.f(x)=3sinQUOTE+1=3cosQUOTE+1=3cosQUOTE+1=3cosQUOTE+1,故B正确,C.当x=QUOTE时,sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=-QUOTE≠0,即函数关于QUOTE不对称,故C错误,D.当x=-QUOTE时,sinQUOTE=sin-QUOTE-QUOTE=sinQUOTE=-1,是最小值,则y=f(x)的图象关于直线x=-QUOTE对称,故D正确.12.(2024·济南高一检测)已知0<α<β<QUOTE,且tanα,tanβ是方程x2-kx+2=0的两不等实根,则下列结论正确的是()A.tanα+tanβ=-k B.tan(α+β)=-kC.k>2QUOTE D.k+tanα≥4【解析】选BCD.因为tanα,tanβ是方程x2-kx+2=0的两不等实根,所以tanα+tanβ=k,tanα·tanβ=2,tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=-k,由0<α<β<QUOTE,tanα,tanβ均为正数,则tanα+tanβ=k≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当tanα=tanβ时取等号,等号不成立,k+tanα=2tanα+tanβ≥2QUOTE=4,当且仅当2tanα=tanβ时取等号.三、填空题(每小题5分,共20分)13.(2024·揭阳高一检测)化简:QUOTE=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1.答案:114.(2024·全国Ⅱ卷)若sinx=-QUOTE,则cos2x=______.

【解析】cos2x=1-2sin2x=1-2×QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】设cosx=t,用t的代数式表示cos2x=______;用t的代数式表示cos3x=________.

【解析】cos2x=2cos2x-1=2t2-1,cos3x=cosQUOTE=cos2xcosx-sin2xsinx=QUOTEcosx-2sinxcosxsinx=2cos3x-cosx-2QUOTEcosx=4cos3x-3cosx=4t3-3t.答案:2t2-14t3-3t15.(2024·南昌高一检测)定义运算QUOTE=ad-bc,若cosα=QUOTE,QUOTE=QUOTE,0<β<α<QUOTE,则β=________.

【解析】依据题意得到QUOTE=sinαcosβ-sinβcosα=sinQUOTE=QUOTE,cosβ=cosQUOTE=cosαcosQUOTE+sinαsinQUOTE,又0<β<α<QUOTE,所以0<α-β<QUOTE,cosQUOTE=QUOTE=QUOTE,又cosα=QUOTE,sinα=QUOTE,则cosβ=QUOTE,β=QUOTE.答案:QUOTE16.(2024·哈尔滨高一检测)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,QUOTE),则QUOTE=________;tan2α+tanQUOTE=________.

【解析】由题意得sinα=QUOTE,cosα=-QUOTE,tanα=-QUOTE.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE;tan2α=QUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2+QUOTE.tan2α+tanQUOTE=2.答案:-QUOTE2四、解答题(共70分)17.(10分)已知α∈QUOTE.(1)若sinα=QUOTE,求sinQUOTE的值;(2)若cosQUOTE=QUOTE,求sinα的值.【解析】(1)因为sinα=QUOTE,α∈QUOTE,所以cosα=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTEsinα+QUOTEcosα=QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)因为α∈QUOTE,所以α+QUOTE∈QUOTE,又因为cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,所以sinα=sinQUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE.18.(12分)(2024·长沙高一检测)已知2sinx=cosx.(1)求sin2x-sinxcosx的值;(2)若π<x<2π,求tanQUOTE的值.【解析】(1)由2sinx=cosx得tanx=QUOTE,则sin2x-sinxcosx=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)方法一:tanx=QUOTE=QUOTE⇒tan2QUOTE+4tanQUOTE-1=0,得tanQUOTE=-2±QUOTE,由π<x<2π及tanx=QUOTE>0得π<x<QUOTE,则QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以tanQUOTE=-2-QUOTE.方法二:由π<x<2π及tanx=QUOTE>0得π<x<QUOTE,从而sinx=-QUOTE,cosx=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-2-QUOTE.19.(12分)(2024·贵阳高一检测)在推导许多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面对量的有关学问来探讨,在肯定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面对量来推导两角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.详细过程如下:如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β.它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B.则=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),由向量数量积的坐标表示,有:·=cosαcosβ+sinαsinβ,设,的夹角为θ,则·=||·||cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ,另一方面,由图(1)可知,α=2kπ+β+θ;由图(2)可知α=2kπ+β-θ.于是α-β=2kπ±θ,k∈Z.所以cos(α-β)=cosθ,也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以,对于随意角α,β有:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(Cα-β)此公式给出了随意角α,β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作Cα-β.有了公式Cα-β以后,我们只要知道cosα,cosβ,sinα,sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.阅读以上材料,利用图(3)单位圆及相关数据(图中M是AB的中点),实行类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:(1)推断=是否正确?(不须要证明)(2)证明:sinα+sinβ=2sinQUOTEcosQUOTE.【解析】(1)因为对于非零向量n,QUOTEn是n方向上的单位向量,又=1且与共线,所以=正确.(2)因为M为AB的中点,则OM⊥AB,从而在△OAM中,||=||·cosQUOTE=cosQUOTE,又=,=QUOTE,=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,即sinα+sinβ=2sinQUOTEcosQUOTE.20.(12分)(2024·杭州高一检测)已知函数f(x)=sin2x+QUOTE-cos2x+1,x∈R.(1)若x∈QUOTE,求函数f(x)的值域;(2)已知α为锐角且fQUOTE=QUOTE,求sinQUOTE的值.【解析】(1)因为f(x)=sinQUOTE-cos2x+1=sin2xcosQUOTE+cos2xsinQUOTE-cos2x+1=QUOTEsin2x+QUOTEcos2x-cos2x+1=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x+1=sinQUOTE+1.令t=2x-QUOTE∈QUOTE,则sint∈QUOTE,即f(x)∈QUOTE,故函数f(x)的值域为QUOTE.(2)由f(α)=sinQUOTE+1=QUOTE⇒sinQUOTE=QUOTE,又因为α为锐角,所以2α-QUOTE∈QUOTE,又sinQUOTE=QUOTE<QUOTE,所以2α-QUOTE∈QUOTE,即有cosQUOTE=QUOTE.所以sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE.21.(12分)(2024·林州高一检测)如图所示,在直角坐标系xOy中,点AQUOTE,BQUOTE,点P,Q在单位圆上,以x轴正半轴为始边,以射线OP为终边的角为θ,以射线OQ为终边的角为φ,满意φ-θ=QUOTE.(1)若θ=QUOTE,求·.(2)当点P在单位圆上运动时,求函数fQUOTE=·的解析式,并求fQUOTE的最大值.【解析】(1)由题图可知,∠POA=θ=QUOTE,∠QOA=QUOTE+QUOTE=QUOTE.·=·=-·=22-2×1×cosQUOTE=4+QUOTE.(2)由题意可知PQUOTE,QQUOTE.因为cosφ=cosQUOTE=-sinθ,sinφ=sinQUOTE=cosθ,所以QQUOTE